pregunta conceptual 1.

Pregunta: El momento es un cantidad vectorial que relaciona la masa y la velocidad: p = mv. De los siguientes enunciados, ¿Cuáles son correctos?

A. Los objetos con más masa siempre cuentan con un mayor momento.

B. Un objeto estático puede mostrar un momento diferente de cero.

C. Si un objeto carece de peso y se mueve en el espacio, carece de momento.

D. Una fuerza neta sobre sobre una masa causa un cambio en su momento.

E. El Impacto sobre un objeto puede ser calculado como Fuerza multiplicada por Tiempo.

MÁS ABAJO LA RESPUESTA

Respuesta:

La respuesta correcta es D.

Una fuerza neta actuando sobre el objeto siempre le causara aceleración, que se define como el cambio de la velocidad; el cambio de la velocidad implica cambio de momento:

El resto de opciones son erróneas. Los objetos con más masa pueden contar con menor momento, considerando la velocidad. Si el objeto se observa estático, implica una velocidad nula, por lo que su momento es cero. Si el objeto carece de peso, puede estar libre de aceleración y seguir contando con su masa; al moverse por el espacio, muestra velocidad: tiene momento. Finalmente, El Impacto se refiere a la fuerza durante el contacto, el impulso es la fuerza aplicada durante un lapso que causa el cambio de momento, son diferentes conceptos.

3 tutoriales: Hechos de tránsito video-analizados con Tracker-physics

COLISIONES vehiculares, atropellamientos y volcaduras son algunos de los incidentes que ocurren en las vías públicas; si una videocámara registra  el hecho, un programa de física puede analizarlo.

Estos acontecimientos forenses se pueden estudiar con una herramienta académica y gratuita: Tracker.

Originalmente, el software se diseñó como un complemento para los cursos de física, especialmente de mecánica clásica. En los últimos meses hemos utilizado este programa para estudiar la cinemática en la caída de un edificio, calcular la velocidad de un auto al atropellar a una persona, hasta la dinámica de dos autos en colisión.

Deseamos hacer un curso online sobre las posibilidades y límites de esta herramienta. Si estas interesado,  déjanos un comentario en este post, es importante saber quien puede utilizar el curso.

Por lo pronto, estos son los primeros videos en una lista de reproducción de YouTube.

Ya anteriormente realizamos un curso online gratuito sobre programación en Matlab. Ahora nos adentramos en la relación forense y física para hacer algo nuevo, inspirador y creativo.

Con todo, este es un movimiento, pues otros profesores utilizan Tracker en un contexto similar. Por ejemplo: dotphysics suele mostrar videos de colisiones, y Loo Kang Lawrence WEE se ha especializado en el uso de Tracker en diferentes temas.

¡Déjanos un comentario, apoya este movimiento!

Genitales, sangre y un hacha: la clase de física que salió mal para el profesor

DOS profesores del high-school en Portland, Oregon, tratan demostrar que la presión es dependiente del área de contacto. Escogen un acto clásico en los cursos de física: es peligroso, es llamativo, es claro.

Ya antes hemos mostrado que las demostraciones en clases de física pueden ser un desastre. Este es otro caso para la colección.

Imagina tu clase del Cole o Prepa, y tu profesor favorito de ciencias se recuesta en el suelo, pone una tabla de clavos sobre su pecho, sobre ella un bloque de concreto. Luego llega otro profesor con un hacha.

En el primer movimiento, el hacha pega en una esquina del bloque, rompe un pedazo. Pero la herramienta alcanza a golpear los genitales del docente.

Ok, la demostración debe continuar.

En el segundo movimiento, el hacha rompe el bloque, pero los clavos fueron mal colocados en la tabla. Algunos se hundieron en el pecho del profesor. Un poco de sangre aparece en su playera blanca. Es hora de suspender la clase e ir a la enfermería. El profesor herido, eventualmente, estará bien. Nadie perderá el empleo, por el momento. Y las estudiantes no necesitaran mucha terapia post-traumática.

Ser profesor es peligroso.

Más si te comportas como improvisado. Aunque tengas una gran necesidad de hacer una demostración espectacular, primero hay que planear, practicar y tomar precauciones antes de intentar un acto de circo con tintes científicos.

Cómo se hace la demostración y sobrevivir.

La posición es diferente y es claro que el ejecutante debe contar con la competencia. Lo que se logra practicando mucho.

Mejorar como profesor de física requiere usar temas que enganchen a los alumnos. Pero no a costa de la salud ;)

¿Qué es lo más peligroso que realizarías por tu clase?

Velocidad de carrera de una chica suicida

Captura de pantalla en Tracker para analizar un salto suicida

Este blog nunca a tratado de reverenciar a la violencia, y mucho menos promover o disfrazar de divertido el suicido. Hoy trato el tema, con un ánimo académico puro.

En los últimos meses mi objeto de estudio a evolucionado y virado de dirección. Hoy tiene que ver con: ciencia forense. Todo lo que le compete a una investigación que puede apoyar

a la resolución de una controversia jurídica, es ciencia forense. De modo tal, el campo de estudio es multisiplinar y amplio.

El problema principal de la ciencia forense radica en la obtención de datos. Cuando se encuentra con un hecho, digamos un cadáver, lo único que se puede hacer: son mediciones. Físicos y químicos pueden hacer sus experimentos con partículas o moléculas, controlando las variables de su objeto de estudio. Pero no es el caso de un astrónomo, todavía, es imposible para la humanidad hacer experimentos entre planetas y estrellas. Los astrónomos pueden realizar muchas observaciones, modelos, analogías, teorías matematizadas, mediciones, pero no experimentos. Algo similar le sucede al científico forense.

En ciencia forense es posible realizar experimentos que modelen un suceso, previo a la situación del conflicto, al llamado jurídico. Este puede ser el caso de las pruebas regulares de resistencia y comportamiento de los autos en un choque violento. También se pueden hacer experimentos, después del llamado, para demostrar una mecánica de hechos, que se use para sostener una deducción presentada en la corte. Pero, no se pueden hacer experimentos con el objeto de estudio, si lo que tenemos es un cadáver, a este solo se le pueden hacer mediciones.

Un ejemplo común 

Por ejemplo, en ocasiones se encuentran cuerpos que cayeron de grandes alturas. Aquí, la pregunta relevante es: ¿la persona se resbaló, se lanzó, o la tiraron?. Sabiendo la distancia del cuerpo a la base y la presunta altura de la caída se puede calcular la velocidad mínima para alcanzar tales dimensiones. Después, usamos dato biomecánicos del promedio de la velocidad de la gente cuando camina o corre. De la comparación, inferimos un comportamiento. Si la velocidad equivale a correr, se deduce menos un accidente que un comportamiento suicida. De hecho,todo este párrafo describe un un ejercicio, de nivel preparatoria, propuesto por la AAPT.

El problema

Recordemos que estos datos biomecánicos suelen recopilarse en condiciones estándar. Si bien respetan las condiciones bioéticas, están lejos de la presión mental de alguien que debe decidir entre seguir con su vida o matarse. Para el investigador, aparece una pregunta crucial: ¿Corre a la misma velocidad una persona en condiciones suicidas que una normal?

La pregunta es muy complicada. La velocidad es dependiente de un montón de variables: genero, edad, estado físico, condiciones de terreno, entre otras. Con todo, las dos primeras variables mencionadas son las que muestran las tablas de la literatura regular.

Una propuesta de enfoque diferente

Aportar al proceso de inducción de la ciencia forense utilizando mediciones de videos de noticias. Más en concreto, hace unos días una muchacha (al parecer menor de 16 años) se lanzó desde la torre de iglesia (mide como cuatro pisos) en Navojoa, Sonora, México. Por cierto, la adolescente sobrevivió a la caída.

Los curiosos alrededor del suceso, realizaron videograbaciones y los cargaron a YouTube; que se usaron para ilustrar la nota amarilla de los noticieros.

Por mi parte, descargué los videos y los analicé con el programa Tracker, para obtener la medida de carrera de una adolescente, una no-atleta, una suicida. El video requirió: cambio de perspectiva (esencial para analizar la física en un video), un ajuste del origen el ángulo del eje de coordenadas (la cornisa y la línea que forma es la base), la masa puntual la marque cerca de la panza de la adolescente (ahí está el centro de masa). Obtuve 16 datos, los ajusté a una línea recta (con un R2 = 0.9982, que implica un buena regresión lineal ). Finalmente, la velocidad medida fue de 4.47 m/s.

Este dato de la velocidad está menos cerca de mediciones de caminata y más de carrera de los experimentos biométricos estándar. Es decir, hay congruencia con la literatura.

La ciencia es un proceso colectivo, se nutre de la variación de arreglos experimentales, y técnicas. Creo que utilizar videos de YouTube para mejorar el proceso de inducción es benéfico también para realizar una ciencia más abierta a la gente. Mostrando que cualquiera puede hacer ciencia: pues las herramientas y la información están cada vez más accesibles al pueblo.

Brat Pitt, su lanza supersónica y los juegos olímpicos

Letal, musculoso e inexpresivo fue cómo Brad Pitt representó a Aquiles, el legendario héroe de la guerra de Troya, en la película Troy, 2004. La pareja sentimental de Angelina Jolie nos da un pretexto para aprender física mecánica y mejorar nuestro pensamiento crítico.

Ya en varios artículos he mencionado que el cine puede ser un buen pretexto para introducir mini proyectos de física; en particular, analizando escenas desde el punto de vista de plausibilidad y medición. Esta película también es el caso, y por lo mismo debo comentar una escena, creo que es poco trascendente en el desarrollo del film completo, pero estas líneas me sirven como una alerta de spoiler.

Pues bien la escena en cuestión es: Aquiles, después de capturar (a hierro y sangre) el templo de Apolo, ve a Héctor y sus guerreros troyanos acercase a todo galope. Con agilidad y sin compasión, el poderoso griego lanza una jabalina directo a uno de los comandantes troyanos, el impacto lo mata y derriba del caballo. Héctor sorprendido, responde lanzando su propio proyectil, el que se ve lento y menos mortal que el arrojado por Aquiles.

Ahora, aterricemos nuestro proyecto de física, ¿a qué velocidad fue arrojada la jabalina de Aquiles?

Parece que la multimedia y la Internet pueden hacer que los libros de texto tengan más preguntas en estos contextos cinematográficos. De hecho, desde el 2007, se puede encontrar una respuesta a esta pregunta por parte de los estudiantes de Glenn Elert. Sin embargo, tal respuesta sufre de un gazapo, que los mismos autores identifican como fuente de error, producido por tratar de perpetuar la leyenda de Aquiles y no seguir un método comparativo. ¡Veamos!

Para resolver el problema acudimos a la definición de la velocidad v_x, utilizando la diferencia de distancias Δx, durante la diferencia de tiempos correspondientes; es decir:

v_x = Δx/Δt

Pero esta velocidad solo es parte de la velocidad neta del lanzamiento v₀; es la componente horizontal, la que por ausencia de fuerzas en esa dirección, permanece constante durante todo el viaje de la jabalina. Entonces, tomando en cuenta la componente vectorial, la velocidad neta es:

v₀= v_x/cos θ

donde θ es el ángulo que hace la horizontal con la jabalina al momento de arrojarla. 

La fórmula es simple, aunque requiere que la analices y la discutas con tus compañeros o profesor. Usar la fórmula sin entender su contexto y significado es poco valioso para un futuro con más problemas de física por resolver.

Pues bien, obtengamos valores:

1) θ: en el modelo simplificado de masa puntual, donde se descarta efectos de arrastre del aire (fricción), este ángulo debe ser de 45 grados. Para una misma velocidad, el lanzamiento a 45 grados permite obtener la máxima distancia horizontal. Aunque, para jabalinas puede diferir tal ángulo y los entrenadores científicos de atletas lo saben.

2) Δt: es la diferencia de tiempo de vuelo, el tiempo transcurrido entre el momento en que el proyectil abandona la mano de Aquiles e impacta en el soldado. Descargando el video y usando Tracker, solo para medir el tiempo cuadro a cuadro, nos permite medir un tiempo de 1.880 s. Lo cual no difiere por lo registrado por los chicos de Glenn.

3) Δx: la diferencia de distancias es una suposición, la escena carece de referentes espaciales. Así que los chicos de Glenn imaginan que la distancia es de 375 m.

La suposición de la distancia hace que toda la cuenta sea un chiste, digno de Holywood. La velocidad de lanzamiento, llega a los 282 m/s (i.e. 1015 km/hr), más rápido que un jet supersónico, LOL.

¿Por qué adivinar? Cierto, a veces la medición es imposible, pero la suposición se puede basar en un elemento de la realidad, y evitar añadidos de la imaginación. Creo que esto es un rollo filosófico nerd, que hay que tratar en otro artículo. Uso una historia y película que fueron concebidas para alejarse de la realidad, pero luego contextualizo al producto cultural para lograr una medición en física con los recursos disponibles. Eso es lo que intento hacer en este blog.

Pues bien, mi propuesta para hacer más real el cálculo, es usar el record mundial de lanzamiento de jabalina que registra la Asociación Internacional de Federaciones de Atletismo: 98.48 m que le pertenece a Jan Zelezny.

Con este dato, aquí obtenemos una velocidad de lanzamiento de Aquiles es: 74.08 m/s = 266.69 km/hr. Así obtenemos una velocidad alta, pero más plausible; pues los datos se obtienen de una medición, y no de un desvarío imaginativo.

Finalmente, comparamos, pero  usando condiciones similares. Por ejemplo, usando un video de YouTube de un lanzamiento de jabalina, sin alteraciones de tiempo en la su sucesión de imágenes y que muestre tanto cuando se suelta la jabalina y cuando hace contacto con la tierra. El video puede ser donde el mismo checo Jan Zelezny alcanzó 98.48 m (25-may-1996,JenaAlemania). Con los datos del tiempo obtenidos de Tracker y la distancia oficial, calculamos que la velocidad neta de este lanzamiento fue 38.484 m/s = 138.54 km/hr.

Es decir, en la película, Aquiles alcanza un lanzamiento de casi el doble de velocidad que el mejor de nuestro olímpicos. Digno de leyenda.

De hecho, Los juegos Olímpicos de Rio 2015 son un pretexto excelente para que los profesores propongan proyectos de física, que los estudiantes conecten temas deportivos con las ciencias. Es una la gran oportunidad para aprender más de lo que realmente le guste a los estudiantes sean deportes, videos o física.

Análisis sencillo del derrumbe de un edificio del WTC

C. Sagan escribió: "Los científicos son nerds, ineptos sociales, trabajando en temas incomprensibles que solo un anormal podría encontrar interesantes...", el gran divulgador y científico americano plasmó estas palabras en el libro libro: "El mundo y sus demonios". Tal provocación es pertinente cuando los profesores de ciencia dejan tareas de aplicación absurdas y aburridas a sus alumnos desmotivados e hiper-conectados con YouTube. Ya antes he mostrado ejemplos de ejercicios malísimos de física y como los mismos alumnos se burlan de la situación.

Dependiendo del perfil de los estudiantes puede ser una propuesta de ejercicio más interesante que otra. Claramente, un análisis del movimiento de un luchador mexicano le interesadas a algunas personas aficionadas al deporte espectáculo; otros simplemente bostezaran. Por ello es importante que los profesores de física aplicada, muy en particular en temas de mecánica cuenten con una buena cantidad de ejemplos para mostrar cómo se pueden aplicar lo que pregonan en la teoría. Es decir, los maestros deben enseñar a medir.

"MEDIR" es la palabra semilla de los mantras de los físicos. Por lo regular lo practican haciendo experimentos; que siempre serán manipulaciones controladas de algún fenómeno natural, con el objetivo de amplificar una magnitud o acelerar el tiempo de un fenómeno que no sucede espontáneamente. Pero a veces, los experimentos sobre la materia de estudio son imposibles. Los astrónomos no pueden experimentar con galaxias o protoplanetas; pero si se basan en experimentos de de otras ciencias (a fin de modelo), observaciones (que incluyen comparaciones y analogías).

Algo similar sucede en las ciencia forense. De carácter pragmático y aplicado, por si misma carece de muchos casos donde se pueden realizar experimentos. Aunque si es posible efectuar reconstrucciones de eventos y utilizar modelos de las disciplinas que la componen, como la física.

Este ejercicio lo realicé con estudiantes de Ciencia Forense de segundo semestre, su perfil es variopinto, (saben lo básico de física general). Pues bien se trata de analizar y modelar el colapso de uno de los edificios del complejo de Word Trade Center norteamericano que fue atacado en el 2001. ¡Ingeniería forense básica! solo eso.

Pues bien, nos basamos en un video en YouTube: "The Collapse of World Trade Center 7", este video fue parte de los utilizados por una investigación en el NIST. Así que es un dato público sin ser informal. Este es el video.

Para el análisis procedemos de la siguiente manera: 

1) Descargamos el video a nuestra computadora,

2) Lo abrimos con el programa gratuito de análisis físico de video: Tracker

3) Haciendo un poco de investigación sobre las dimensiones del edificio y la arquitectura estándar de esta clase de construcciones, determinamos que cada piso mide 4 metros. Esta será nuestra principal fuente de error.

4) Podemos utilizar la herramienta de corrección perspectiva de Tracker para obtener una imagen más cómoda de analizar. La figura muestra como se ve la imagen después de la transformación.

5) Sobre la arista derecha del edificio colocamos el eje de coordenadas (aunque puede estar en cualquier parte) y una barra calibradora. Pero en lugar de escoger solo un piso, seleccionamos 10 pisos y les asignamos 40 metros. Ello disminuye el error de la medición.

6) En la parte inferior, encontramos la barra de tiempo y dos triángulos que limitan la reproducción del video.  Desplazamos los triángulos para solo tener la sección que nos interesa analizar: el colapso del edificio. 

7) Sobre la misma línea, vamos a marcar la masa puntual. Es decir, automáticamente el programa registra las coordenadas xy junto con el tiempo de grabación. Conforme se capturan, estos datos deben aparecer del lado derecho de la pantalla, tales datos analizaremos al finalizar la captura.

8) Al finalizar la captura, seleccionamos los datos en el eje y junto con el tiempo, seleccionamos 75 datos para su análisis, equivalente a  2.45 s del video. Tiempo dentro del intervalo del derrumbe según el informe del NIST.

9) Pues bien, estos datos los podemos ajustar a una línea recta, parábola, o polinomio de grado mayor. Sin embargo, el ajuste a parábola tiene un interpretación física sencilla y el ajuste es excelente. En este caso, por medio de la comparación entre la ecuación de caída libre y el ajuste parabólico encontramos que el coeficiente de la parte cuadrada es la mitad de la aceleración gravitatoria: -4.9 m/s^2. (Lo que es muy bueno pues un indicador de la validez del modelo); mientras que el factor de correlación es de 0.9998 (valores por arriba de 0.99 se consideran excelentes).

10) Finalmente, continuando con la comparación entre polinomios: el teórico físico y el del ajuste experimental encontramos que la velocidad inicial de caída del edificio es 12.3 m/s; es decir, cerca de 44.3 km/hr. Velocidad cercana a la reportada en el informe del NIST.

Sin más interpretaciones, ahí puede terminar nuestro ejercicio de mecánica básica. Posteriormente se pueden hacer análisis más profundos. En su reporte, el NIST brinda buenas ideas para hacer trabajos más elaborados sobre el mismo video. Pero eso será tema para otra entrada en este blog.

Por el momento, lo importante es dejar en claro que por medio de datos públicos en Internet (como pueden ser los videos de YT), con herramientas freeware (Tracker) y con las bases teóricas sólidas y elementales (física general o mecánica 1) es posible realizar un ejercicio interesante, como es el derrumbe de un edificio asociado a un hecho histórico.

La concepción del libro de texto está cambiando, yo creo que debe dirigirse a ejercicios dinámicos y abiertos; que si bien tienen guía para llegar a un resultado, el camino puede ser diferente para cada estudiante, sin que eso signifique una experiencia frustrante; más bien, espero que los alumnos vivan una pequeña aventura al medir.

¿Qué video nos recomiendas analizar?

¿Cómo puede funcionar un triciclo de ruedas CUADRADAS? Video

Por lo  general una rueda cuadrada
es una muy mala idea

Es un hecho bien documentado, En TODOS los Departamentos de Física les gustan los experimentos chiflados (y divertidos). Así, estos chicos de Texas nos muestran que necesitan un camino con el perfil de catenarias invertidas para que puedan dar un paseíto con su triciclo de ruedas cuadradas.

Sí, esta clase de vehículos puede ser ideal para caminos llenos de baches y topes, así como los de mi ciudad XD

Así que dejen de llorar si tienen un triciclo con ruedas cuadradas, siempre hay una solución para ese problema, la solución esta en la ciencia. Veamos el video

Bueeeno en realidad el hipérbole coseno, perdón, catenaria, debe contar con una longitud de arco igual a uno de los lados del cuadrado. De otro modo, el triciclo no funciona. Así, que los viajes tranquilos sólo los puedes hacer en este camino especial, no en cualquier lado ;)

Entonces, ingenieros civiles, de este modo le sumamos otra propiedad o aplicación interesante a la catenaria. Y me retiro, pues ya es hora de que comience mi meditación Zinc... digo Zen OOommmm (-_-)

¿Por qué un triciclo? ¿Acaso una bicicleta es más difícil/peligrosa de manejar en este experimento?

Preguntas para pensar 
1) ¿Cómo seria el camino para que pueda funcionar una bicicleta de ruedas triangulares isósceles? 
2) ¿Qué otras propiedades físicas tiene la catenaria? Menciona dos más.

Videos de medición directa una alternativa para mejorar el curso de física

Estoy seguro que el análisis de video es una de las mejores herramientas para que los estudiantes resuelvan problemas de física en la vida real.

El proceso de trabajo es simple: 1) Obtener un video (usualmente online); 2) emplear un programa de análisis como Tracker (del que he mostrado varios usos)  para adquirir datos del tiempo y la posición; el programa permite realizar el análisis diversos, de modo que la interpretación y discusión de los resultados se puede hacer rápidamente y en grupo.

Sin embargo, el proceso suele requerir una sucesión de muchos clics/procesos que los estudiantes pueden encontrar tediosos o difíciles de realizar cuando tienen mínima experiencia con Tracker. Además, cuando el tiempo de clase es reducido, es vital ahorrar ese trabajo.

Una solución es que los videos de interés para un curso de física cuenten tanto con una regla de distancias (más que una referencia) y con con un reloj digital marcando el tiempo real en el video. Seguro, con ello la clase se ahorra bastante tiempo para concentrase en el análisis y la interpretación de datos. Pero... ¿Quién hará ese trabajo?

¡Pues buenas noticias! Peter Bohacek realiza el proyecto Direc Measurement Videos. Son videos de alta calidad con anotaciones para que los estudiantes puedan trabajar sin la necesidad de un software externo. Se puede trabajar directamente de los datos del video. La siguiente presentación muestra varios casos que te pueden inspirar. 

Estos videos se pueden usar como complemento a cursos teóricos. Los videos permiten realizar preguntas teóricas que pueden ser más familiares e interesantes para los estudiantes de preparatoria (bachiller o instituto) que las tradicionales preguntas escritas. Además de que permiten realizar preguntas-abiertas que reten a los estudiantes a aumentar sus habilidades para resolver problemas.

El anhelo de los profesores es que los estudiantes analicen situaciones reales mediante realizaciones matemáticas. Se valen de demostraciones que pueden tener medidas, problemas de algún libro de texto (con esquemas o fotografías) y trabajo de laboratorio donde los estudiantes adquieren sus datos para analizar. Cada una de estas técnicas presenta sus inherentes limitaciones.

Los videos son una cuarta vía, que permite aclarar conceptos en un entorno más real, que trasciende el aula, el laboratorio y la escuela. Pues muestra que la física se puede utilizar en situaciones reales, atractivas  e interesantes. Este proyecto de videos abre un camino para que un curso sea más dinámico para los profesores entusiastas.

Por el momento la mayoría de los videos del proyecto  se enfocan a temas de mecánica. Pero, seguro con el tiempo aparecerán videos similares para complementar el estudio de para otros temas y disciplina.

¿Cómo podrías usar tú estos videos? Deja un comentario o la materia oscura nos devorará ;)

¡Ahhh! Por cierto, esta entrada participa en la edición LIII del Carnaval de la Física, ahora hospedada en el blog: Vega 0.0

La katana contra la pistola 9 mm

En este fantástico video una katana (un sable japones) corta por la mitad una bala disparada desde una pistola 9mm. Mejor que un video juego, es la realidad. Los maestros armeros japoneses muestran con orgullo las cualidades extraordinarias de sus espadas. En el video se puede ver claramente como la rápida bala es rebanada por la estática espada. ¿Una lección Zen, acaso?

Estas espadas se hacen de dos aceros, dos tratamientos diferentes. Uno para obtener un acero flexible (con muy poco carbón); el otro, para lograr un acero duro, que formara el filo de la espada.

Esta entrada es participa en la edición LII del Carnaval de la Física, hospedada en mayo del 2014 en el blog Enciclopedia Galáctica.

Tiernos perritos protagonizan la operación de una máquina de Rube Goldberg

TODAS las máquinas de Rube Golberg son un elogio a la protecastinazación y a la inutilidad. Pues desde que se tratan de mecanismos que realizan múltiples tareas secuenciales, a veces formando cacharros complejos, para terminar de ejecutar una tarea simple y hasta ridícula de hacer. Pero además suelen ser hipnóticas, además de que me encantan, en este blog les he compartido ya varias de ellas.

Con todo, de vez en cuando las compañias buscan usar estos arreglos para su mercadotecnia, Honda ya lo hizo hace tiempo para anunciar sus autos. Y ahora, el fabricante de alimento para mascotas, Beneful, nos trae con el lema. "Jugar, es bueno para ti", esta máquina donde los perros y sus juguetes son piezas del intrincado mecanismo.

De la misma forma que el comercial de Honda, parece que esta pieza no es una sola, se nota que la edición de video tiene un papel relevante y amplio en toda la secuencia. Más de uno la calificará de "fake". Después de todo, los animales son difíciles siempre de controlar y algunos objetos como las pelotas chocando son complicadas de pre-arreglar.

Donde la vanalidad del intento de vender se convierte en reflexión de la naturaleza.

Todas la máquinas son diseñadas y construidas con reglas predeterminadas para que cumplan su función después de encenderlas. Ese es el poder la ciencia: la predicción correcta del futuro; más en particular la mecánica newtoniana bajo la frase:

Si pudiéramos conocer la posición, velocidad y fuerzas de todas las partículas del Universo, podriamos decir TODO sobre su pasado y futuro.

Con todo, la naturaleza es más compleja. En mecánica cuántica las probabilidades de que suceda un evento complican la predeterminación, pero siempre tienen límites de que puede o no suceder. Así, viene al caso la reflexión que se hace en la película Minority Report sobre lo que esta predeterminado.

Comerciales de comida de perros, maquinas, películas de ciencia ficción, determinismo: demasiada mezcla inconexa. Lo dudo sobremanera.

Felices Experimentos!!

Concursos en televisión japonesa y física divertida: Daruma 7

Para occidentales citadinos, como yo, la televisión japonesa suele ser graciosamente extraña. De hecho, la cultura japonesa es compleja pues combina tradiciones centenarias con interpretaciones actuales de otras culturas y tendencias. Sus producciones televisivas lo mismo malabarea con animes que bien tratan de historias rosas de adolescentes (Candy-Candy) o recuerdan las los mitos griegos de las constelaciones (Los caballeros del zodiaco) que programas de concurso donde se ponen al límite a los participantes.

En los últimos meses, en México han aparecido retransmisiones de varios concursos mundialmente populares. En particular Ninja Warrior y Unbeatable banzuke (en Venezula lo titularon Inmejorable banzuke). El programa contiene muchos concursos de habilidad física/deportiva; pero hoy me quiero concentrar en un juego en particular: Daruma 7.

El video abajo de este parrafo muestra en que consiste el reto. Sí se trata de usar un martillo para retirar el bloque inferior de un torre de 7 bloques, sin dejar que alguna sección se derrumbe. De acuerdo con la Wikipedia solo han habido 4 ganadores en este juego. En algunas versiones modificadas en lugar de 7 se usan 9 bloques, y en otras el bloques esta apilados formando un cono invertido, que tiende a desplomarse con más facilidad.

¿Por qué han sido tan pocas victorias en el Daruma 7?

Básicamente el camino a la victoria de este juego es sencillo. Se trata de dar golpes rápidos y horizontales a cada uno de los bloques. La inercia de los bloques superiores actuar a nuestro favor. De hecho, el bloque golpeado se acelerara y aunque la fricción entre bloques brinda un poco de fuerza será más pequeña mientras más rápido sea el golpe del martillo. Así un bloque sale despedido, por un par de milesegundos deja un espacio de aire donde la torre de bloques cae más tarde.

Pero si trata de retos extremos en torres, me parece más complicado retirar una moneda en medio de dados que forman una torre. En este video se muestra un modo de resolver el problema, pero en esencia es la solución es la  misma: un movimiento horizontal rápido.

Ya en este blog les he mostrado otros experimentos similares sobre inercia y también lo pueden consultar en el artículo

“Removing Coins from a Dice Tower: No Magic — Just Physics,” The Physics Teacher 51: 212, Apr 2013 [pdf gratis]. Del que pueden ver su video gracias a un video de Fransico Villatoro.

Lo cierto es que, como profesor de física, debería intentar hacer estas demostraciones en mis clases. ¿O las demostraciones en vivo son una mala idea? ¿Qué opinan? XD

Si se trata de romper bolas, GE las presiona hasta reventarlas (3 videos)

La compañía General Electric tiene muy claro como usar la Internet y las redes sociales al lanzar diferentes campañas virales y de tipo "marketing guerrilla". Por ejemplo, hace unos meses te mostramos una divertida compilación de videos muy cortos sobre ciencia usando la plataforma Vine.

Pero hoy, nos atañe la destrucción de pelotas. 

Primero, a reventar una pelota de baseball. Tal vez ya viste que un potente batazo puede destrozar una de estas pelotas rápidas. Ahora veras como una máquina la comprime y la revienta:

Quisiera decir que la compañía multinacional hace esta labor destructiva solo por diversión. Sin embargo, esta máquina lleva a los materiales a su límite para aprender cómo y cuanta compresión resisten; lo que le da una idea a los ingenieros y creadores de nuevos materiales como mejorar diferentes productos.

Pero sigamos viendo como se revientan diferentes bolas. En este caso 100 000 libras (poco menos de 50 mil kilos) recaen sobre una pelota de tenis.

Esta serie de videos incluyen otras pruebas de materiales. Así, una pelota de ping pong se mide ante la erosión extrema.

En el canal de YouTube de GE puedes encontrar más videos como este y sobre otras pruebas que se aplican a los materiales y objetos.  Y sí, es cierto, estudiar una carrera de ingeniería y científica te puede abrir las puertas para destruir objetos, sin que te regañen, y mejor, sin que te arresten por romper la ley.

Dos modos sencillos para hacer el efecto de Matrix (bullet-time) con una sola cámara

Matrix es una película de ciencia ficción que marco a una generación: su historia y efectos especiales hicieron soñar a muchos geeks, como yo. Bien pronto gran cantidad de cineastas profesionales y aficionados intentaron por varios medios repetir efectos del film de 1999 de los hermanos Wachowski; por ejemplo el efecto llamado bullet-time, algunos con somero éxito en reproducirlo, como en scary movie (2000).

Originalmente, el efecto bullet-time requiere de múltiples cámaras sincronizables rodeando el objeto a filmar. Los costos eran altos y el grado técnico era un reto adicional. Con todo, actualmente existen algunas variaciones que pueden dar un efecto similar. Los siguientes videos son ejemplos que pueden inspirarte para tus próximos videos, solo requieren una cámara.

El primer video es relativamente barato pues usa una cámara convencional montada sobre un soporte giratorio (en este caso es una motor de ventilador). El segundo video es más sofisticado, usa una cámara rápida y cara, por lo que el arreglo giratorio es más sofisticado para evitar un posible daño en la cámara, en ambos casos el cambio de marco de referencia es la clave para cautivar al espectador.

Espero que disfruten los videos como yo lo hice.

Es un hecho que cambiar de marco de referencia brinda perspectivas nuevas; pero usar plataformas giratorias implica la aparición de una seudo- fuerzas (llamadas también fuerzas ficticias). La fuerza centrípeta debe ser su más famoso exponente, pues nos puede desconcertar. Por ejemplo, cuando vemos ciertas escenas donde la fuerza de Coriolis nos hace bromas a la mente. Incluso, nos reta para, tal vez, tener un nuevo deporte, el carrusel-basket-ball.

Finalmente, una nota de la película Wanted, donde las trayectorias curvas de las balas son tan pronunciadas como dramáticas. Bueno este efecto podría explicarse por el efecto Coriolis, pero solo si los protagonistas estuvieran parados en plataformas giratorias. Yo prefiero explicar por efecto Magnus que una bala curve la trayectoria. Hay que seguir discutiendo como hacer ciertos efectos de película... pero eso es tema para otro momento. 

En fin. ¡Felices experimentos!

Realmente, ¿Cuánto dura un momento?

Siempre que voy a la cafetería y pido un capuchino, la encargada me dice: "un momento, cariño". ¡Qué fácil podemos decir mentiras! y ahora les explico.

¿Cuánto dura un momento? Siendo una medida de tiempo extremadamente flexible, un momento puede durar desde un par de horas (por ejemplo en la sala de espera de un hospital: "en un momento te atendemos"), o puede durar unos minutos (que fue lo que tardaron en darme mi capuchino en la cafetería).

Usar "un momento" como unidad de tiempo, al menos, data de la Edad Media. Así, 40 momentos formaban una hora, de modo que un momento es 1.5 minutos; más o menos, pues en esa epoca las horas era variables, pues se usaban relojes de sol y otras medios bastante imprecisos, hasta que aparecieron los relojes mecánicos.

Este significado se ha degradado para nosotros hasta significar: "un breve intervalo de tiempo"; pero en algunos casos significa: "Deje de molestar, ya le atiendo".

En México nos gustan los diminutivos, tal vez como una forma de cortesía. De modo que por lo regular se escucha: "un momentito", unidad temporal que suele ser más grande que "un momento". Así son las trampas del idioma y la intención.

Con todo, la palabra momento, por etimología, se emparenta con la palabra movimiento; y por una conexión momentun se utiliza en física para describir la cantidad de movimiento p de una masa m: p = mv, donde v es la velocidad... Pero esa es otra historia, por ahora me tomare mi café, pues ya paso un momento.

Obtener la velocidad de lanzamiento de una honda

El siguiente video muestra a un entusiasta hondero; lanza una pelota ―impulsada por la fuerza centrípeta― hasta una distancia de ~30 metros, según él.

Varias partes de este video son ideales para ser analizadas con Tracker. 1) Se cuenta con una referencia de distancias, 2) el plano de la imagen contiene a la trayectoria de la pelota lanzada, 3) el contraste entre fondo y pelota es alto. Utilizando todos estos atributos, en el mismo video nos dicen que la pelota fue lanzada con una velocidad cercana a los 47.5 m/s. Ese cálculo se debió de hacer mediante la definición:

¿Será correcta esta velocidad? ¡Lo podemos comprobar!

Primero descargamos el video a nuestra computadora (usamos YouTube Donwlandre HD). Luego el video lo abrimos en Tracker. Cada línea horizontal sobre la pared del fondo mide 1 metro, la marcamos como referencia de distancia. Escogemos el segmento de video a analizar, obtenemos cinco datos experimentales entre los cuadros 592 al 597. Estos datos los ajustamos a una parábola, para comparar con las ecuaciones de tiro parabólico, Tracker tiene la funciones automáticas para esta tarea ―y también nos dice que la coincidencia/correlación entre datos y modelo es del 98.9%, cifra muy buena.

Comparando componentes de las ecuaciones, encontramos que la gravedad es de 13.8 m/s^2, siendo este un error, nos puede indicar que el video es falso. Pero también, y con mayor probabilidad, que la escala de tiempo necesita corregirse. Así el factor de escala temporal T_real = 1.187T_video nos brinda la constante gravitacional correcta.

Corregimos para el caso de la velocidad y obtenemos que la pelota fue lanzada con una velocidad inicial de 40.3 m/s. Ese valor es muy cercano al que muestra el video y superior que una organización de tiradores reporta en condiciones corrientes.

Ahora, calculando el alcance de la pelota. Nuevamente vamos a Tracker y marcamos una línea inclinada entre los dos puntos experimentales que anteriormente señalamos en el video. El programa indica cinco grados en el ángulo de lanzamiento.

Estos datos los sustituimos en la ecuación de alcance de tiro parabólico. Por lo que obtenemos que el alcance de esta pelota es de 28.8 m. Muy congruente (en un 96%) con lo que muestra el video.

Y ahora la pregunta importante para estos análisis: ¿Es mejor usar toda la información experimental o solo un par de puntos para obtener la velocidad del lanzamiento? Bueno, un par de puntos brinda una estimación de la velocidad, que a la vez oculta fuentes de error: la corrección del tiempo. Usar los cinco puntos experimentales es mejor pues se compara directamente con un modelo y se puede estimar el error con mayor exactitud. Y ese es el valor de los modelos, la comparación es directa entre los datos y las ecuaciones.

Este error en el tiempo puede ser ocasionado por la adquisición original del video, por le programa que use para descargar el video. Eso no lo sé, todavía. 

Pero no me crean, mejor hagan sus propias mediciones ;)

Si conocen otros videos deportivos que analizar con Tracker, envíanos el link. Mira que ayudas a muchos más estudiantes con tal contribución :D

Felices experimentos!!!

Fallando la demostración en la clase de física

Después de que su maestro mostrara existosamente que el agua de la copa de vidrio se mantiene contenida, aunque su base de grandes giros. Un valiente alumno se anima a repetir esta demostración centrífuga. Lamentablemente, cuando él ya se debe detener, lo hace demasiado rápido, la copa sigue con su movimiento inercial, cae y se rompe causando un desorden y las carcajadas de sus "buenos" amigos. Con todo, su profesor se lo toma bien, seguro porque sabe que en sus primeros intentos de hacer esta demostración fracaso de modo similar.

"En los detalles esta el demonio"

Para que una exposición, demostración o discurso parezca natural se debe ensayar muchas veces. Ensayar brinda seguridad en lo que hacemos, nos hace encontrar los puntos débiles para reforzarlos, nos permite encontrar los detalles finos que hacen que nuestro trabajo luzca bien. Ensayar hace a los verdaderos profesionales.

Cuando uno comienza a dar clases intenta imitar a los profesores que más admira. Pero lo cierto es cada uno encuentra su propio estilo a través de ensayos múltiples. Cada experiencia analizada y repetida, cada intento planeado y ejecutado, cada reto asumido y consultado con alguien de más experiencia.

Por otro lado, ¿Deberíamos solo usar demostraciones en video y olvidarnos de hacerlas en vivo?, creo que usar videos es genial, cuando carecemos del equipo, tiempo y destreza. Por ejemplo, me es imposible demostrar en vivo que, en caída libre, en la Luna un martillo y una pluma tocan el suelo a la vez; pero cuento con un video que lo evidencia. Pero hacer la demostración en vivo es una excelente forma de atrapar la atención de los alumnos, pues les causa excitación ser sorprendidos por su profesor (por el truco bien hecho o por el fracaso), los transporta de un salón de clases a un teatro. Yo soy partidario de usar -sin abusar- de videos y demostraciones en vivo.

Así, en lugar de mostrar el efecto a centrifuga en el salón con copas de vidrio, mejor hago esta otra versión (más económica e igual de llamativa) para mis estudiantes

Ensayar y solo ensayar una demostración nos hace dominarla. En ese sentido somos como magos que hacemos un espectáculo para nuestros estudiantes, esperando que se entusiasmen a descubrir cómo funciona su mundo.

Tira el teléfono por la ventana y mide la altura del edificio: judo a video viral

¿Qué es este video?

Este video es un vine, es un video editado de menos de 8 segundos que expresa un mensaje: un chiste, una curiosidad o reflexión. Esta forma de expresión es la respuesta al formato que impuso la empresa Vine propiedad de Twitter, así que son videos cortos pues siguen la filosofía de la empresa del pajarillo azul.

Y ahora, ¡le aplicaremos judo a este video!, pues originalmente es una curiosidad y no sabemos si tiene una edición, tal vez el video es un truco un vil fake. Pero además, el video es un excelente pretexto para presentar un ejercicio simple de física (nivel secundaria y tal vez prepa), para introducir el tema de caída libre. Pues vamos a hacerlo.

¿Qué altura tiene el edificio de este video Vine?

Utilizando, únicamente, el cronómetro del reproductor de YouTube, el teléfono estuvo en aire aprox. 2 segundos. Suponiendo que parte del reposo, podemos usar la fórmula de caída libre, la altura "y" ya está despejada. Obteniendo

Sustituyendo valores de t y g obtenemos que el edificio mide aprox. 19.6 m (con 20% de error) . Ahora bien, en el video alcanzó a contar 5 balcones, cada uno representa un piso. Suponiendo que cada piso mide 3 metros, sumando que hay una planta baja sin balcón, el edificio debe medir al menos 18 metros. Así estas dos cantidades son congruentes, pero no definitivas. El video parace no ser fake, pero te recomendamos hacer una reflexión grupal con tu profe. consentido, sí el de física.

También puedes hacer tu versión de este video, ya conociendo la altura del edificio, y nos cuentas como te fue. ¡Pero cuidado con romper tu bello teléfono o lastimar a alguien por hacer un experimento!

Hay mejores alternativas para medir alturas o gravedad.

Tirar objetos desde edificios para hacer experimentos de física es una idea muy popular. La gente cree que galileo fue de los primeros en hacer tales lanzamientos; pero lo cierto es que él usaba planos inclinados donde rodaban pelotas que a su paso hacían sonar campanitas, ¡Qué lindo, verdad!.

Acá, por mi facultad suelo ver a estudiantes novatos hacer el experimento desde un quinto piso, así que la idea, efectivamente, es muy popular.

Sin embargo, medir el tiempo en tales circunstancias es difícil, pues típicamente los tiempos de caída son menores que el tiempo de reacción de una persona con cronómetro, usar video requiere lentes de un mayor angular, (por cierto, no he visto el intento con aceloremetros de smartphone). Pero lo más frustrante de tal diseño es la alta incertidumbre intrínseca de la fórmula de caída libre, la cual requiere hacer derivadas parciales para demostrarla y que por el momento ese desarrollo matemático se sale del objetivo principal de esta post/entrada. Para encontrar la altura de edificio es mejor usar triángulos semejantes y para obtener g es mejor usar un péndulo.

En este blog hemos realizado varias entradas mostrando que videos youtuberos que solo tienen la intención de entretener se pueden utilizar para apoyar una lección didáctica, de forma que se muestra que la física tiene que ver con todas nuestras actividades y que se puede hacer de un modo más atractivo al tradicional.

Pero dinos, como usas tu YouTube para aprender algo nuevo.

¡Extra!, te recomiendo que veas el video: Compilación 6 segundos de ciencia de GE

Análisis del tiro parabólico al destapar en slow-motion una botella de champagne

BOTELLAS de Champagne, delicioso su contenido; y bello cuando se destapa la botella: el repentino “pop”, el vuelo del corcho y una neblina que sale de la botella son parte de espectáculo y ritual del buen beber. Pero esta botella de vino espumoso nos da una oportunidad de apreciarla más profundamente, como cuando es grabada a alta velocidad con una cámara phantom, como es este caso:

 

¿Podemos ir más profundo en la naturaleza de este video?, ¿a qué velocidad fue grabado?, ¿Qué tan rápido sale disparado el corcho de la botella? Fueron algunas preguntas que me hice al ver el video.
 

Así que analicé estas escenas. El procedimiento fue parecido a otros análisis que he comentado a detalle en entradas anteriores. Descargué el video a mi computadora y lo analicé con Tracker.

 

Después de seleccionar el intervalo de escenas a estudiar, coloqué mis ejes de coordenadas vertical-horizontal cerca de la boca de la boca de la botella, ingenuamente (muy ingenuo) marqué como referencia de longitud de esta boca de botella. Finalmente marqué los puntos de la orilla del corcho y así seguí el movimiento de esta masa puntual. Como se ilustra en la imagen adjunta.

 

Tracker automáticamente me entregó sendas gráficas de la distancia recorrida en el eje-Y y del eje-X en función del tiempo. Y me permitió hacer un ajuste parabólico y lineal a los datos respectivos al eje-Y y eje-X. Los ajustes teóricos fueron excelentes: muy cercanos a la unidad (anteriormente ya he comentado sobre este factor de ajuste). Estos ajustes fueron conjeturas educadas, pues cuento con un confiable modelo teórico de cómo se debe mover el corcho. Las siguientes fórmulas de tiro parabólico resumen tal idea.
 

 
 
 

Pero, mi escala de distancia y tiempo inicialmente fueron conjeturas. El video carece tanto de las escalas de distancia y tiempo. ¿Cómo puedo avanzar más?

Primero, las bocas de botellas tienen aprox. la misma medida: 1 cm. De ahí ya tengo mi escala de longitud.

 

Segundo. Para obtener la escala temporal depositare mi confianza en el valor de aceleración en caída libre g (esta confianza que no es fe). Del ajuste del eje-Y, igualo los términos cuadrados en el tiempo. Uso la definición de aceleración y puedo escribir

 

 

donde m es el valor del ajuste, mientras que el subíndice r denota la distancia y tiempo real, y el subíndice v hace lo propio para el video. Para mi caso, se que existe esta relación d_r = 10^{-4} d_v.

 

Así que sustituyendo valores y despejando encuentro un valor del orden de: t_r = 0.92x10^{-2} t_v. Es decir, cien segundos del video, equivalen a un en tiempo real (en nuestro tiempo, en nuestra percepción cotidiana). Y listo con estos valores puedo obtener las velocidades y otros datos que me interesan. De modo que la velocidad inicial del corcho en el eje-Y y -X es respectivamente: 23.95 y 5.83 Km/h, el modulo es de aprox. 24.65 Km/h. La imagen adjunta muestra las graficas y valores de ajuste en m/s.

A destacar.

 

Un simple análisis de video nos permite hacer un interesante ejercicio de física para nivel preparatoria. Pese a que inicialmente nuestras escalas (espacio y tiempo) eran incorrectas los ajustes de datos fueron muy buenos. Este hecho refleja la importancia de evitar los errores sistemáticos en los análisis.

 

Haciendo una rápida medición del diámetro de la boca de una botella y extrapolando obtuvimos una buena aproximación para nuestra escala de longitud.

 

Nos apoyamos en el valor de g para poder obtener la velocidad de captura de la cámara phantom, lo cual debe ser interesante para analizar otro tipo de videos. Por ejemplo, en justas deportivas. Cuando veamos otro video de esta cámara, podemos decir, lo que estoy viendo sucede 100 veces más rápido de lo suelo percibir.

 

En próximas entradas comentaremos otros videos de alta velocidad… pero esa es otra historia. Por el momento: ¡¡Felices experimentos!!

Física de Piñatas || Introducción a ejercicios de estatica con vectores

En esta ocasión he realizado un video de introducción de aplicaciones de vectores. El tema es mecánica pues pienso que puede ser de ayuda para los estudiantes de este nivel. Espero que así sea.

Pero sus comentarios: sugerencias y criticas pueden ser de ayuda para mejorar este proyecto.

Fisica en garabatos: simples ejercicios de gravitación para prepa y secundaria (video)

Continúo haciendo videos educativos de física. Siendo un novato en estas lides audiovisuales  siempre estoy dispuesto a escuchar sus comentarios para mejorar estos videos en su forma y fondo.

Ahora les presento un video pequeño sobre aplicaciones de las leyes de Newton y gravitación. Solo es una muestra pues hay muchos más ejercicios que se pueden desarrollar a este nivel.

Guión

¡Hola Internet!

¿Qué tan intensa es la fuerza de gravedad?

Sí, esa fuerza que conecta la caída de una manzana y mantiene en su órbita a la Luna.

Que requiere multiplicar dos masas, dividirlas entre el cuadrado de su distancia y multiplicar por una constante.

¡Sí!, esa fuerza que al considerar las condiciones de la Tierra nos permite obtener la aceleración en caída libre en nuestro planeta.

Pues bien, esta fuerza de atracción entre personas necesita considerar sus masas individuales y su separación. Así, que supondré que pesan mucho: 100 Kg, y que están separadas por un metro.

Sustituyendo valores obtengo un valor muy pequeño de alrededor de 10 a la menos 7 newtons.

En contraste, ¿cómo es la fuerza de atracción entre la Tierra y una de estas personas? Tomando en cuenta que la masa del planeta es mucho más grande y conservando el resto de las cantidades.

Repetimos la sustitución de valores y obtenemos un valor mucho más grande. Del orden de 10 a la 15 newtons.

Sin embargo, un metro de distancia entre persona y planeta es una poderosa generalización. Ya que consideramos que toda la masa del planeta se encuentra en su núcleo. Lo cual no es descabellado considerando la simetría esférica del planeta.

¿Podemos ver que la Tierra se mueve por esta fuerza de atracción?, ¿por ejemplo al saltar?

Pues para ello usamos la segunda ley de Newton para la aceleración del cuerpo pequeño: que puede ser una manzana, nosotros, o toda la población del mundo. Y repetimos para el caso de planeta.

Por tercera ley de Newton, sus intensidades son iguales, por lo que conectamos estas dos ecuaciones.

Usamos álgebra para tener de un solo lado las aceleraciones y del lado contrario las masas respectivas.

Así, observamos que la masa del planeta es inmensamente mayor que la del objeto. Esta relación la heredan las aceleraciones. Y con un despeje mostramos que la aceleración del objeto es inmensamente mayor que del planeta.

¡Y por esto, el planeta no se bambolea cada vez que saltamos! Pues nuestra masa es muy pequeña en comparación.

¿Qué hay de cuerpos más grandes?

Cuándo los planetas compiten para atraernos, ¿hay un punto donde tengan la misma fuerza?

De hecho, sí. Cuando las fuerzas son igual de intensas y con sentidos contrarios, nuestra aceleración es cero.

Podemos escribir la suma de todas las fuerzas igual a cero. Y recordando que son vectores.

Después desarrollamos los términos de la fuerza gravitacional, y retiramos los términos comunes.

Los términos que permanecen son los que deben formar el cero.

De hecho, podemos usar nuestra algebra para tener de un solo lado los términos de la distancia y del otro los de la masa. Y encontramos una fórmula simple donde nos dice que estas fuerzas están en equilibrio.

Pero te dejamos a ti, introducir los números para obtener los valores de estos ejercicios.