¿Cómo es la presión de un globo?

Fisica en garabatos: simples ejercicios de gravitación para prepa y secundaria (video)

Continúo haciendo videos educativos de física. Siendo un novato en estas lides audiovisuales  siempre estoy dispuesto a escuchar sus comentarios para mejorar estos videos en su forma y fondo.

Ahora les presento un video pequeño sobre aplicaciones de las leyes de Newton y gravitación. Solo es una muestra pues hay muchos más ejercicios que se pueden desarrollar a este nivel.

Guión

¡Hola Internet!

¿Qué tan intensa es la fuerza de gravedad?

Sí, esa fuerza que conecta la caída de una manzana y mantiene en su órbita a la Luna.

Que requiere multiplicar dos masas, dividirlas entre el cuadrado de su distancia y multiplicar por una constante.

¡Sí!, esa fuerza que al considerar las condiciones de la Tierra nos permite obtener la aceleración en caída libre en nuestro planeta.

Pues bien, esta fuerza de atracción entre personas necesita considerar sus masas individuales y su separación. Así, que supondré que pesan mucho: 100 Kg, y que están separadas por un metro.

Sustituyendo valores obtengo un valor muy pequeño de alrededor de 10 a la menos 7 newtons.

En contraste, ¿cómo es la fuerza de atracción entre la Tierra y una de estas personas? Tomando en cuenta que la masa del planeta es mucho más grande y conservando el resto de las cantidades.

Repetimos la sustitución de valores y obtenemos un valor mucho más grande. Del orden de 10 a la 15 newtons.

Sin embargo, un metro de distancia entre persona y planeta es una poderosa generalización. Ya que consideramos que toda la masa del planeta se encuentra en su núcleo. Lo cual no es descabellado considerando la simetría esférica del planeta.

¿Podemos ver que la Tierra se mueve por esta fuerza de atracción?, ¿por ejemplo al saltar?

Pues para ello usamos la segunda ley de Newton para la aceleración del cuerpo pequeño: que puede ser una manzana, nosotros, o toda la población del mundo. Y repetimos para el caso de planeta.

Por tercera ley de Newton, sus intensidades son iguales, por lo que conectamos estas dos ecuaciones.

Usamos álgebra para tener de un solo lado las aceleraciones y del lado contrario las masas respectivas.

Así, observamos que la masa del planeta es inmensamente mayor que la del objeto. Esta relación la heredan las aceleraciones. Y con un despeje mostramos que la aceleración del objeto es inmensamente mayor que del planeta.

¡Y por esto, el planeta no se bambolea cada vez que saltamos! Pues nuestra masa es muy pequeña en comparación.

¿Qué hay de cuerpos más grandes?

Cuándo los planetas compiten para atraernos, ¿hay un punto donde tengan la misma fuerza?

De hecho, sí. Cuando las fuerzas son igual de intensas y con sentidos contrarios, nuestra aceleración es cero.

Podemos escribir la suma de todas las fuerzas igual a cero. Y recordando que son vectores.

Después desarrollamos los términos de la fuerza gravitacional, y retiramos los términos comunes.

Los términos que permanecen son los que deben formar el cero.

De hecho, podemos usar nuestra algebra para tener de un solo lado los términos de la distancia y del otro los de la masa. Y encontramos una fórmula simple donde nos dice que estas fuerzas están en equilibrio.

Pero te dejamos a ti, introducir los números para obtener los valores de estos ejercicios.

Una breve historia sobre la acupuntura

Por lo general se afirma que la acupuntura se origino en China, pero los primeros documentos que la mencionan son de tan solo unos cuantos cientos de años de nuestra era. Se ha especulado que piedras afiladas y huesos tallados que datan de 6,000 A.C. pudieron ser utilizados como instrumentos para tratamientos de acupuntura, pero estos simplemente se pudieron utilizar como instrumentos quirúrgicos para drenar la sangre o pinchar abscesos.

No existen pruebas arqueológicas de que la acupuntura se utilizara en China antes del 198 A.C., aunque si existen referencia sobre el sistema de conductos/canales vitales, pero muy diferentes del modelo que se acepto posteriormente. Incluso hay especulaciones alrededor de la localización de los tatuajes que tiene el “hombre de hielo” quien murió en las montañas alpinas hace aprox. 3300 A.C. Estas marcas pueden indicar una forma de tratamiento similar a la acupuntura desarrollada independientemente en China.

El primer documento que describe un sistema organizado para el diagnostico y tratamiento (reconocido por la acupuntura) es “the yellow Emperor’s clasic of internal medicine” del año 100 A.C. La información es presentada en forma de preguntas, realizadas por el emperador y respondidas por su primer ministro. El texto es probablemente una compilación de tradiciones, y presentada en términos de la filosofía taotista. El concepto de canales (meridianos o conductos) en que la energía vital (Qi) fluye son bien establecidos en esta época. Aunque la localización anatómica precisa de los puntos de acupuntura se desarrollara después.

La acupuntura continuo su desarrollo en las siguientes centurias y gradualmente se convirtieron en un una terapia estándar en China, de la misma manera que lo fue el uso de hierbas, masaje, dieta y la moxibustions (terapia a base de calor). Muchas teorías exotéricas del diagnostico y tratamiento emergieron, algunas veces contradiciéndose. Estatuas de bronce del siglo XV muestran los puntos de acupuntura que se emplean hoy en día. Durante la dinastía Ming (1364-1644) el gran compendio de acupuntura y moxibustion fue publicado, que forman las bases de lo que hoy es la moderna acupuntura. En él está una clara descripción de los 265 puntos que representan las entradas a los canales; y que a través de agujas insertadas se puede modificar el flujo de la energía Qi. Hay que señalar que el conocimiento de salud-enfermedad en China se desarrollo puramente por la observación de seres vivos porque la disección humana estaba prohibida, Así, la anatomía era desconocida.

El interés por la acupuntura disminuyo entre los chinos en el siglo XVII por lo que en adelante fue sujeto de irracional y superstición. De hecho, fue excluido del Instituto Médico Imperial por decreto del emperador en 1822. Este declive gradual llevo a la acupuntura (y otras formas de medicina tradicional) a estar fuera de la ley, en a que en 1929.

Después de la instalación del gobierno comunista en 1949, las formas tradicionales de medicina (incluyendo la acupuntura) fueron restauradas posiblemente por motivos nacionalistas pero también como un medio de proveer salud a niveles masivos de la población. Así, la acupuntura regreso a los institutos en 1950.

La diseminación de la acupuntura a otros países sucedió por varias rutas. En el siglo XVI, Korea y Japón asimilaron la acupuntura China, mientras que la acupuntura llego a Vietnam en el siglo XVIII. Francia fue de los primeros países occidentales en adoptar la acupuntura, Berlioz, El padre del compositor, contaba con clínicas de acupuntura y escribió textos sobre el tema, en 1816.

Actualmente, muchos practicantes han desechado el concepto de flujo del Qi y han adoptado un modelo neurológico. Basados en que las agujas de acupuntura estimulan terminaciones nerviosas y alteran funciones cerebrales, en particular las relacionadas con el dolor.

Hay una plétora de mecanismo que sugieren la acción de la acupuntura, pero muy pocos datos que valide algún mecanismo relevante para la práctica clínica. La evidencia de efectividad clínica es elusiva por muchas condiciones como el dolor crónico. Aunque hay investigaciones sistemáticas que dan evidencia confiable del valor de la acupuntura en tratar nauseas, dolor dental, dolor de espalda y dolor de cabeza.

Fuente:

White, A. (2004). A brief history of acupuncture Rheumatology, 43 (5), 662-663 DOI: 10.1093/rheumatology/keg005

Ejercicio de física sobre alcances a velocidad constante

Guión del video.

¡Hola Internet!

Imagina dos personas que corren en línea recta para colisionar. Con sus respectivas velocidades constantes, ellos salen al mismo tiempo y al principio están separados una distancia D mayúscula.

¿En dónde y cuándo colisionan?

Pues bien, para el primer corredor, usamos la definición de velocidad: la diferencia de distancias ente la diferencia de tiempo.

d minúscula es la distancia a la que chocan y t será el tiempo cuando impactan. Como parten desde el origen de coordenadas: d0 es nulo, así como t0 también es nulo.

Para el otro corredor, aplicamos de nuevo la definición de velocidad. Pero él partió desde la distancia D mayúscula. Además hay que considerar que se mueve en dirección contraria, así que debemos cambiar los signos: pues el desplazamiento es un vector. Las consideraciones en el tiempo son las mismas, ya que este no es un vector.

Así, obtenemos dos ecuaciones con dos incógnitas: d minúscula y t. Despejamos una de las incógnitas, por ejemplo: el tiempo. Como el choque sucede al tiempo t podemos igualar estas dos expresiones.

Entonces, obtenemos una ecuación con una sola incógnita que requiere ser despejada. ¡Así que a usar álgebra!

Primero, agrupamos las velocidades de un mismo lado.

Después, agrupamos y simplificamos los términos que acompañan a la incógnita d minúscula.

Así, despejamos a d minúscula.

Para simplificar multiplicamos por un 1 singular, con forma de velocidades.

Finalmente, tenemos una expresión simple que me dice dónde chocan los corredores.

Pero ¿Cuándo sucede la colisión?

Esta expresión de la distancia se sustituye en alguna del tiempo. Por ejemplo, la del primer corredor. Así obtenemos la respuesta completa.

Ahora una pregunta para pensar:

Si el segundo corredor huye del primero. Conociendo que salen al mismo tiempo, desde una distancia también conocida ¿Dónde y cuándo lo alcanza?

¿Por qué siempre gana el casino aunque las probabilidades de ganar sean iguales?

LOS JUEGOS de azar son populares porque prometen ganancias rápidas y con poco esfuerzo a los apostadores. Sin embargo, esa promesa de riqueza suele ser válida solo para los casinos y casas grandes de apuestas. Efectivamente, apostar es un buen negocio para quien maneja un establecimiento. Pero, ¿por qué?, ¿hacen trampa los casinos?, ¿la promesa es una verdad a medias?

Da clic en la imagen para aumentar la vista

Imaginemos “el juego de echar volados”: si cae cara ganamos una moneda, de otro modo perdemos una moneda; todos los tiros tienen el mismo monto apostado. Si al principio del juego, contamos con 10 monedas, y si lo hacemos contra un casino que solo cuenta con 10 monedas (muy hipotético caso). ¿Cómo nos va contra este casino?

Aplicando matemáticas con estar reglas de juego, encontramos que al tirar la moneda existen rachas ganadoras y perdedoras para el jugador. Como lo muestra la gráfica (A) de la figura que ilustra esta entrada. Basta con una racha perdedora consecutiva de 10 tiros para perder todas las monedas. Estas rachas largas son poco probables, pero no imposibles. Tienen una probabilidad de suceder de 1/2^10 = 1/1024. Pero de la misma forma, como muestra la gráfica (B) de la misma figura, unas cuantas rachas ganadoras permiten ganarle todas las monedas al casino. De hecho, la ganancia para el jugador –y la pérdida para el casino– es del 100%. En estas condiciones le conviene al jugador apostar, pues puede ganar todo el monto.

Sin embargo, ¿qué sucede cuando el casino tienen mucho más dinero que el jugador?; una situación más real. Por ejemplo, si el jugador tiene 10 monedas y el casino 1 millón. Pues el casino al tener más monedas tiene la oportunidad de soportar las buenas rachas del jugador; como lo muestra la gráfica (C) de la figura. Aún, rachas exageradas de aprox. 50 tiros ganados consecutivamente representan una perdida pequeña para el enorme monto que exhibe el casino. Efectivamente, en la gráfica (C) el jugador llega a ganar 150 monedas (después de muchos juegos), pero están cantidad no representa ni el 0.02% del monto original del casino; es una perdida ínfima para la casa de apuestas. Para el jugador (que comenzó con 10 monedas) esto es una enorme ganancia: 1500%.

Con todo, el jugador compulsivo que proponemos sigue apostando y se encuentra con rachas perdedoras, las que eventualmente lo llevan a perder todas sus monedas; como muestra la gráfica (C).

La moneda no está cargada, las probabilidades son las mismas en cada tiro: 50/50. Pero pueden suceder rachas donde un lado de la moneda se muestre muchas veces. Donde la pérdida para un casino rico es pequeña lo que le permite seguir jugando, pues eventualmente le ganará todo el dinero al ludópata de este ejemplo. De hecho, quitarle todo el dinero al jugador significa una ganancia pequeña para el casino; pero ha ganado todo; lo que le permitirá ganarle eventualmente a otro jugador ingenuo.

Para el jugador la única espereza es retirarse cuando tiene una racha ganadora, pero es imposible saber cuánto duran estas rachas. La tentación para mantenerse en el juego es mucha pero es la única salida en los juegos de azar. Pues el tiempo está a favor del casino rico.

Puedes acceder y usar mi código Octave/Matlab para hacer tus propios experimentos con estas condiciones o alterar el código para crear otras relaciones entre casinos y jugadores. Tal vez una te represente.

Preguntas para pensar:

¿Es mejor jugar de una sola vez el monto completo de las 10 monedas?, ¿es mejor jugar solo con nuestro monto o jugar acompañado del monto de otros jugadores (aunque se dividan las ganancias)?

Cadena que se acelera gracias a colisiones internas: compresión que causa tensión

EN LOS LIBROS de texto de física, ingeniería, matemáticas o química encontramos muchos problemas estándar resueltos. Estos ejemplos nos muestran una forma de buscar respuestas usando un pensamiento científico. Puede ser gratificante encontrar la solución que el libro sugiere, y es más emocionante cuando encontramos soluciones alternas a las del libro de texto. Tal es el caso del problema de una cadena cayendo sobre un montón de eslabones que tocaron el piso con anterioridad: ¿el eslabón que acaba de tocar la pila de eslabones estáticos afecta la velocidad de caída del resto de eslabones en movimiento? (mira la figura del problema). De acuerdo con el consenso general, la caída de la cadena es indiferente a los eslabones que tocan piso.

Sin embargo, Annop Grewal y amigos de la Universidad de Cornell en N.Y., creen que hay situaciones en que puede ser diferente esta respuesta. Hay casos donde el eslabón en contacto con el piso sigue interactuando con el resto de eslabones y puede jalarlos hacia abajo, aumentando la velocidad de caída de la cadena completa.

Ellos realizaron un modelo mecánico donde el largo del eslabón presenta un ángulo con la horizontal. De modo que un lado del eslabón toca el piso antes que el otro extremo. Al impactar con el piso, el eslabón ejerce efecto de pivote: una torca –una fuerza que depende del largo del eslabón y dicho ángulo– que jala hacia abajo al resto de los eslabones. De tal modo que esta cadena particular puede caer más rápido si toca piso que si cae libremente.

final de fotografía de esta carrera
entre cadenas 

Efectivamente, además de hacer las cuentas, ellos construyeron dos cadenas idénticas de palitos unidos con hilo, cada palito presenta un ángulo con la horizontal que se alterna con en el siguiente eslabón, mira la figura. Al dejar caer al mismo tiempo ambas cadenas, una impacta de lleno sobre una mesa (izq. de la figura); resultado que el final de esta cadena cae más rápido que su gemela en caída libre (der. de la figura). Mira experimento grabado con una cámara de alta velocidad.

De cierto que en una cadena ordinaria este efecto no se observa, pero el efecto es notable en esta cadena que parece una cuerda de tendedero con pinzas.

La realización de este experimento como su discusión teórica es interesante como proyecto semestral para estudiantes que inician sus estudios de física en una licenciatura. los detalles de este trabajo se pueden consultar en la revista oficial o puedes leer el borrador del artículo. En cualquier caso, tenemos un caso donde aún un libro de texto se puede complementar o corregir, así es la ciencia, es una caja abierta a la mejora continua. Como en el caso de los láseres... pero esa es otra historia para el blog.

Imágenes sucesivas del experimento con de las dos cadenas al dejarlas caer 

Ref.

Grewal, A., Johnson, P., & Ruina, A. (2011). A chain that speeds up, rather than slows, due to collisions: How compression can cause tension American Journal of Physics, 79 (7) DOI: 10.1119/1.3583481

Cuando los números desnudos mienten: el cuarteto de Anscombe

LOS ANÁLISIS estadísticos son útiles porque resumen un montón de cifras en un par de números significativos; por ejemplo: el promedio y la desviación estándar. La información de temas diversos (e.g. opiniones o inclinaciones de voto, tendencias económicas y fenómenos naturales) puede ser condensada en unos cuantos números, y de esa manera tomar una mejor decisión sobre algún asunto delicado: un tratamiento médico, una política de estado, etc.

Sin embargo, un análisis numérico en solitario es insuficiente; es indispensable obtener una visualización correcta de la distribución de los datos, una gráfica. Una imagen donde se representen los datos puede brindar más información en menos tiempo como asegura E. Tufte en sus famosos libros. Además permite intuitivamente descubrir estructuras en nuestra serie de datos. Efectivamente, una gráfica brinda el contexto necesario para tomar mejore decisiones y ser cuidadoso en evaluar nuestro modelos propuestos.

El cuarteto de Anscombe ejemplifica excelentemente este último caso. Pues muestra que cuatro conjuntos de datos con las mismas propiedades estadísticas pueden tener tendencias muy diferentes.

En una época cuando las computadoras personales empezaban a permear en la sociedad americana, cuando las programas de hojas de cálculo eran poco (muy poco) conocidos. Francis J. Anscombe publicó el artículo: Graphs in Statistical Analysis (1973). Ahí defendía la idea de usar métodos gráficos para complementar los análisis estadísticos.

Él presenta la siguiente tabla de números que contiene cuatro conjuntos de datos (de ahí el nombre de cuarteto), esencialmente, cada conjunto exhibe propiedades estadísticas idénticas: el promedio de los valores de X es 9.0, mientras que los valores de Y es de 7.5, sus variancias son casi idénticas, correlaciones y líneas ajustadas (al menos por dos lugares decimales).

Con todo, cuando graficamos los datos, sus tendencias son muy diferentes entre sí, como muestra la siguiente imagen.

Estas cuatro gráficas son muy diferentes, pero sus valores estadísticos coinciden. Da clic en la imagen para hacer más grande

Los datos del conjunto 1 presentan una dispersión general, pero se pueden ajustar a la recta. En contraste, los datos del conjunto 2 muestran una tendencia no lineal. Mientras que los datos del conjunto 3 forman una línea hay un dato disparado (outlier data). Finalmente, los datos del conjunto 4 tienen una tendencia de línea vertical pero un dato disparado hace que la línea de tendencia sea muy diferente de la vertical.

De cierto es que graficar los datos revela su estructura, muestra cuando el análisis presenta casos patológicos como el conjunto 4. Por ello, los análisis requieren tanto cálculos como gráficas. Y ambas salidas deben ser estudiadas, pues ambas contribuyen al entendimiento del fenómeno estudiado.

¿Qué es un dato disparado?

Es uno o varios datos que se separan mucho de promedio o la tendencia que muestra el conjunto de datos. Retirarlos implica dejar más en claro la tendencia; disminuye la desviación estándar. Pero, ¿Cuántos datos se deben retirar?, ¿Qué tan lejos debe estar un dato para considerarlo disparado? La respuesta para ambas preguntas carece de consenso. Así, para los conjuntos de datos 3 y 4 es claro que un solo punto esta disparado (para ambos casos); a simple vista conjunto 2 carece de datos disparados; pero del conjunto 1 son varios los puntos que pueden estar disparados.

Criterio de la distribución gaussiana.

¿Cómo están distribuidos los datos
en una campana de Gauss? La imagen
muestra esa concentración de información

En general, podemos pensar que los puntos se distribuyen simétricamente alrededor del promedio. Como una distribución gaussiana, la cual se puede definir a partir del promedio y de la desviación estándar de los datos. Pues bien, un círculo imaginario con un radio igual la desviación estándar contiene más de 68 % de los datos de la distribución (como ilustra la imagen), en este intervalo se concentra la mayoría de la información. Por tanto, lo que está fuera de este intervalo se puede descartar como un dato disparado. Ese es un criterio para limpiar nuestros datos.

Sin embargo, al reportar nuestros descubrimientos debemos mencionar la presencia de los datos disparados, La gráfica debe presentar los datos completos. Esta práctica no era la norma en 1970s y muchos no la siguen hoy en día. Posiblemente, esta falta de gráficas y datos disparados son los que han llevado a muchos profesionales a de la estadística a graves errores en sus predicciones, habrá que ver.

Ya en anteriores entradas había advertido del uso del factor de correlación como único criterio para ajustar una curva. Ahora, el cuarteto muestra un ejemplo concreto que los números por si solos son insuficientes, se require de elementos visuales para completar la información.

¿existirán más conjuntos de datos que compartan estadísticas similares y gráficas dispares?, ¿Cuál será la manera lógica de construirlas? Eso… será tema de otra historia para este blog.

Referencias.

Anscombe, F. (1973). Graphs in Statistical Analysis The American Statistician, 27 (1) DOI: 10.2307/2682899

Obtener el número Pi sin usar círculos: video y su guión

Guión del video.

Hola internet

¿Se puede obtener el número PI mediante experimentos físicos donde no hay círculos?

Aquí te presento algunos ejemplos.

La relación entre el diámetro de una circunferencia y su longitud es PI, que es un número con infinitos dígitos y que no se puede describir como la división de dos números enteros: por lo cual lo llamamos número irracional.

Podemos pensar en una circunferencia, una rueda de diámetro uno, cubierta una sola vez por un listón. Al hacer girar la rueda por una horizontal, se libera el listón cubriendo una distancia de PI veces el diámetro. Pero eso es solo una definición donde se emplea el círculo tangible.

Por otro lado, el movimiento de un péndulo simple solo forma una parte de una circunferencia imaginaria. Su periodo está relacionado a PI, si se conoce la constante de gravedad y la longitud del hilo se puede obtener este número fácilmente a partir de oscilaciones pequeñas. De hecho, todos los fenómenos periódicos se relacionan con el número PI. Por el solo hecho de repetirse en el tiempo completan un ciclo: una especie de circunferencia imaginaria.

Con todo, también en fenómenos aleatorios podemos obtener el, número PI, como en la aguja de Buffon.

¡No ese bufón!

La aguja de Buffon es un juego, donde se lanzan agujas, clavos o palillos sobre una mesa con varias líneas paralelas dibujadas. Cuando la distancia entre líneas es el doble que la longitud de los palillos. Entonces el número total de palillos entre el número de palillos que tocaron una línea es igual al número PI. Aquí no se dibujo ni un pedazo de circunferencia.

Más aún, tenemos un caso singular de choques elásticos. El experimento consiste de una masa grande que choca con una masa pequeña en reposo. En una superficie sin fricción. La masa pequeña choca después con una pared elástica, en su regreso la masa pequeña choca con la masa grande que sigue desplazándose. Los choques se repiten una y otra vez a mayor velocidad. Finalmente la masa grande se queda sin velocidad y luego la masa pequeña choca contra ella.

¿Cuántas colisiones sucedieron en total?

Hagamos una tabla. N es un contador, que si es cero implica que la masa grande será 16 veces la pequeña, por lo cual tendremos tres colisiones.

Para N igual a 1, la masa grande será 1,600 veces la pequeña, de modo que tendremos 31 colisiones.

Para N igual a 2, la masa grande será 160,000 veces la pequeña, de modo que tendremos 314 colisiones.

¡Ya vemos una tendencia¡

De hecho, Si la masa grande es 16 por cien a la N, en el número de colisiones tendremos 3 y N dígitos del número Pi. ¿Dónde está el círculo?

De modo que podemos obtener el número PI sin necesidad de círculos físicos. Solo pedazos de circunferencias escondidas e imaginarias.