Después de ver cómo los protagonistas caen por un largo túnel en Viaje al centro de la Tierra, recordé un ejercicio teórico que aquí desarrollo: Se puede dejar caer un objeto por un túnel que atraviese a la Tierra, y el objeto vendrá e ira en poco tiempo, es un correo por tubos. Revisemos rápido esta idea de movimiento armónico simple.Imagina que se pudiera cavar un túnel que atravesara la Tierra a lo largo de su diámetro, despreciando las fuerzas de fricción y suponiendo que la densidad del planeta es uniforme. Es muy sencillo de demostrar que el movimiento de un objeto al caer en el túnel es un movimiento armónico simple.
Así, la atracción gravitacional entre el objeto y la Tierra, cuando el objeto esta a una distancia r del centro de la Tierra proviene enteramente de la porción de masa del planeta situada en cascarones internos a la posición del objeto. Los cascarones externos no ejercen ninguna fuerza sobre la partícula, pues son anulados por el efecto de simetría del conjunto de cada cascaron externo. Si la densidad de la Tierra es uniforme, la denotamos como rho. Entonces la masa M dentro de una esfera de radio r y volumen V es
Esta masa se puede tratar como si estuviera concentrada en el centro de la Tierra (donde esta el centro de masa) Entonces, la componente radial de la fuerza sobre del objeto de masa m sea
El signo menos indica que la fuerza es de atracción y, por tanto, dirigida al centro de la Tierra. Sustituyendo a M, Obtenemos
De este modo los valores constantes los agrupamos y los llamamos k. Por tanto, la fuerza es proporcional al desplazamiento r pero directamente opuesta. Es exactamente el criterio de movimiento armónico simple.
¿Cuánto tiempo tardaría un correo enviarse por este túnel?
El periodo de este movimiento es
Cuando la densidad es de 5.51 10^3 kg/m^3, tenemos que el periodo es de 84.4 minutos. Es decir, el tiempo en que un objeto cae por el túnel y llega al otro extremo es de 42 minutos, independiente de la masa del correo (puede ser ligero o muy pesado). Es un correo muy eficiente.
Este mismo efecto, con el mismo periodo podría suceder si el túnel se forma en cualquier cuerda (una línea que atravesara a la esfera). Este ejercicio nos dice que la suma de energía potencial gravitacional y la energía cinética no cambia (se conserva) en todo el viaje. En los extremos del túnel, la energía potencial es máxima, en el centro de la Tierra la energía cinética es máxima y la potencial es cero. Este ejercicio me arrebata la imaginación, me parece fantástico, por eso los científicos se divierten en pensado en juegos nuevos de feria.
¿Qué sucede si hacemos este problema con densidad variable?, ¿Cómo cambia nuestro problema?, ¿Cómo achura la fuerza de fricción en este problema?
Este ejercicio de tarea de física, realmente se podría llevara a cabo en un meteoro de dimensiones medianas (Un par de kilómetros), Falta encontrar a los que se atrevan a realizar este divertimento físico. El ejercicio es fue tomado del capítulo 16 del libro Física de R. Resnik y D. Halliday.
Vamos a suponer una tierra completamente esférica...
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