¿Qué tan pequeño debe ser el ángulo x para que sen x = x?

En física usamos aproximaciones para simplificar la descripción (matemática en la mayoría de los casos) de los fenómenos naturales. Una de las simplificaciones más común es que cuando el ángulo \theta es pequeño, entonces las funciones trigonométricas se pueden reescribir como:

Existen varios ejercicios de cálculo de límites para demostrar esta idea. Sin embargo, ¿qué significa cuantitativamente pequeño? Significa que tanto la función seno como el ángulo se parezcan, es decir, que la función seno dividida entre el ángulo sea igual a 1. Pero aquí te mostramos gráficas para tener una idea que permita tener un criterio aplicable a los trabajos en el laboratorio.

En las imágenes de este post te mostramos las gráficas de . En (a) se gráfica con todo el intervalo de 0 a 360 grados, es claro que la curva no se acerca al valor de 1. En (b) se gráfica de 0 a 45 grados, obtenemos muy buenos valores por encima de 90% para este intervalo. En (c) tenemos un intervalo de 0 a 15 grados, logramos un valores superiores 99% en el cociente de la función entre su argumento; es decir, ángulos menores de 15 grados son lo suficientemente pequeños para aplicar la aproximación 

con por lo menos un 99% de confiabilidad.

Entonces, si en tus experimentos requieres de ángulos pequeños para emplear estas aproximaciones, por debajo de los 15 grados es suficiente. Pues practicar, por ejemplo, midiendo la constante de aceleración en caída libre por medio de un péndulo.

Finalmente, te dejamos el muy sencillo código Matlab de estas gráficas, seguro te gustaría hacer tu versión con las otras dos funciones trigonométricas

¡Felices experimentos!!

Código Matlab:

clc
clear
close all

theta = 0.001:0.01:2*pi;
y = 100*sin(theta)./theta;


subplot(1,3,1)
plot(theta*180/pi, y, 'ok')

subplot(1,3,2)
plot(theta*180/pi, y, 'or')
axis([0 45 90 100])

subplot(1,3,3)
plot(theta*180/pi, y, 'ob')
axis([0 15 98 100])


Enlaces relacionados:


Video: medición de g con péndulo simple.