"La influencia de tus amigos hace que subas de peso", Cómo las redes sociales nos modelan

La sabia abuelita le susurra a su nietecillo: "El que con lobos anda a aullar se enseña." Y los científicos se van al laboratorio a comprobarlo.

En esta época del año, tan llena de propósitos nobles y objetivos a largo plazo es interesante saber  que necesitamos crear o modificar la red social donde nos desenvolvemos para mejorar. Y a la vez nosotros, al ser parte del sistema, lo podemos cambiar.

En el video de esta charla, Nicholas Christakis hace un resumen de su libro Conectados, la oculta influencia de las redes sociales. Básicamente, nos dice que tanto podemos influenciar  al amigo de un amigo (que desconocemos) por nuestros hábitos. Así que si quieres cambiar el mundo para bien, puedes comenzar a sonreír y empezaras a influenciar para bien a los amigos de tus amigos.

Sí se puede afectar al amigo del amigo

Pero más allá de una postura positiva, que parece efecto mariposa con rara justificación, también se puede tomar para el mal. Por ejemplo, se puede tratar de excluir a cierto tipo de personas porque su forma de ser o sus hábitos nos son desagradables. Tal idea abre la puerta a la discriminación. Aunque Nicholas afirma contundentemente  que nunca se debe usar sus descubrimientos para sostener tal idea. Cómo sea, la puerta esta entreabierta.

Finalmente quiero llamar la atención que para Nicholas son tres las fuentes de que la gente se influencia una a la otra en términos de la red. Pero es poco claro si es la influencia directa, la afinidad o que se comparten lugares comunes los que nos hace crear la red social que necesitamos. 

En cualquier caso, el consejo para alcanzar una meta, la que guste, es páguese a alguien del grupo, asista a donde va el grupo y haga lo que ellos. Suena a receta de autoayuda, pero también a cómo crear una epidemia... pero esa será otra historia para este TAO.

Una gran acción de clase para demostrar que se sabe trigonometría

Imágenes de los estudiantes de Cora

Las matemáticas pueden cautivar incluso a los estudiantes con más prejuicios. Los estudiantes de Cora lo demostraron de modo atractivo, ellos realizaron gráficas de barras tridimensionales para demostrar que entienden trigonometría.

Los estudiantes se entusiasmaron por un tema que se podían representar mediante gráfica de barras, después de realizar (con su profesor) varios ejercicios de proyección, entendieron como debian colocar la cámara, apoyarse la cuadricula trazada en el piso y dibujar sus rectángulos estirados para obtener un bonita imagen. ¡Todo con solo saber un poco de seno, coseno y tangente!

Creo firmemente que la creatividad y curiosidad son inherentes a todos los humanos. Por ello, hay que celebrar que los estudiantes hagan este tipo de proyectos. En este ejemplo, diseño gráfico , mercadotécnica, estadística tienen cabida. Porque las matemáticas nos brinda herramientas para mejorar nuestro trabajo, aunque la escuela tradicional suele apagar esta flamante idea.

Por ello estoy en contra de los típicos ejercicios de libro de texto, con ejemplos y contextos artificiales. Suelen limitar la imaginación de los estudiantes y profesores.

Por lo pronto ya estoy por pedirles gráficas 3D a mis estudiantes. 

Platón vs. los ingenieros y cualquiera que aplique las matemáticas

Platon: Lo único importante es la idea.
Aristoteles: ¡Ya bájale!, maestro.

Imagina que tu comunidad tiene un problema, que resuelves con tus conocimientos de matemáticas. Y que todos están contentos excepto tu más querido maestro, quien te enseño las matemáticas, él se siente traicionado y decepcionado por ti. ¿Suena extraño? Con todo, tal situación realmente sucedió con uno de los personajes pilares de nuestra cultura: Platón.

Platón fundó la escuela más famosa de la antigüedad: la Academia. Sin pagos de colegiaturas, estudiar las áreas protegidas por las musas, pero con un especial énfasis en las materias de matemáticas y filosofía era el sello  de esta escuela de tan alto renombre. Una tradición bastante tardía afirma que en su entrada se leía: "No entre aquí quien no sepa geometría". Qué supieras matemáticas era muy, muy importante para el maestro Platón.

Por aquella época, las matemáticas de la Academia ―como de los pitagóricos― tenían como propósito la trascendencia intelectual y estética; con gravedad había que realizar tan seria actividad. Esa forma de ver a las matemáticas la alejaba de toda cálculo y medición de la realidad.

Platón era tan dogmatico y quisquilloso con sus ideales trascendentales que enfureció cuando se enteró  de que dos de sus alumnos emplearon la geometría para realizar algunos experimentos mecánicos. En el libro Vidas paralelas, Plutarco lo relata así:

"Fueron, es cierto, Eudoxo y Arquitas los que empezaron a poner en movimiento el arte tan apreciado y tan aplaudido de la maquinaria [...] Platón se indispuso e indignó contra ellos, porque degradaban y echaban a perder lo más excelente de la geometría con trasladarla de lo incorpóreo e intelectual a lo sensible, al emplearla en los cuerpos que son objeto de oficios toscos y manuales [...] Repudiada y desdeñada por los filósofos, [la geometría] vino a ser, por lo tanto, una de las artes militares".

Para Platón era mala idea mezclar los actividades prácticas con los asuntos superiores. Él opinaba que las matemáticas no deberían prestar ayuda en los asuntos terrestres.

En nuestros días la visión es diferente, las matemáticas son un agente de transformación de la realidad, y una de las vías menos inciertas para alcanzar la prosperidad material entre individuos y sociedades. Afortunadamente, La necesidad de resolver problemas ha sido más fuerte que el idealismo platónico de mantener a las matemáticas en la impracticabilidad. La geometría es la herramienta principal del arquitecto, el cálculo diferencia ha permitido al hombre llegar a la luna, la estadística ha ayudado a la prevención y control de enfermedades. Y sobre todo, en el ir y venir de ideas entre la realidad mundana y la ensoñación intelectual han permitido crecer a la matemática y beneficiar a la gente.

Hay dos cosas que aprender de esta anécdota:

1) Si los programas de estudio, los libros de texto y los profesores evitan aterrizar a las matemáticas a nuestro contexto, hacen que perdamos la oportunidad de un crecimiento intelectual y obstaculizan la resolución de nuestros problemas reales.

2) Además, nadie puede decir que tiene cultura o que ha aprendido a pensar si carece de estudios matemáticos. Y eso es algo que los programas de estudio de humanidades deben tomar en cuenta para incorporar con más ahincó en escuelas y facultades de: filosofía, letras, artes y derecho. Ya es hora que aprendan cálculo diferencial e integral, topología y un largo etc. 

Por cierto, esta entrada participa en la XI Edición del Carnaval de Humanidades alojado por @ScientiaJMLN en el blog SCIENTIA

¿Cómo puede funcionar un triciclo de ruedas CUADRADAS? Video

Por lo  general una rueda cuadrada
es una muy mala idea

Es un hecho bien documentado, En TODOS los Departamentos de Física les gustan los experimentos chiflados (y divertidos). Así, estos chicos de Texas nos muestran que necesitan un camino con el perfil de catenarias invertidas para que puedan dar un paseíto con su triciclo de ruedas cuadradas.

Sí, esta clase de vehículos puede ser ideal para caminos llenos de baches y topes, así como los de mi ciudad XD

Así que dejen de llorar si tienen un triciclo con ruedas cuadradas, siempre hay una solución para ese problema, la solución esta en la ciencia. Veamos el video

Bueeeno en realidad el hipérbole coseno, perdón, catenaria, debe contar con una longitud de arco igual a uno de los lados del cuadrado. De otro modo, el triciclo no funciona. Así, que los viajes tranquilos sólo los puedes hacer en este camino especial, no en cualquier lado ;)

Entonces, ingenieros civiles, de este modo le sumamos otra propiedad o aplicación interesante a la catenaria. Y me retiro, pues ya es hora de que comience mi meditación Zinc... digo Zen OOommmm (-_-)

¿Por qué un triciclo? ¿Acaso una bicicleta es más difícil/peligrosa de manejar en este experimento?

Preguntas para pensar 
1) ¿Cómo seria el camino para que pueda funcionar una bicicleta de ruedas triangulares isósceles? 
2) ¿Qué otras propiedades físicas tiene la catenaria? Menciona dos más.

Video: la belleza de la geometría de series de Fourier

¿Te gusta el arte? Entonces deberías pensar en estudiar más matemáticas y cómputo. Y como prueba basta un botón, mira este video  y la imagen de más abajo.

De acuerdo con su autor, los colores son artisiticamente añadidos después de construir los patrones geométricos, pero todos ellos son generados a partir de series de Fourier, que son sumas de  funciones seno y coseno, en palabras llanas. Es probable que la técnica tome elementos de los populares y bonitos espirografos; pero el autor es muy reservado sobre su técnica, código, y otros elementos.

Tal vez este aplicando la idea de que "los magos nunca revelan sus secretos". Sin embargo, ya hablar de series de Fourier y tener una idea de coordenadas polares me da una pista de por donde van construyéndose las imágenes.

Artistas y matemáticas

Hay que recordar que muchos pintores famosos se aprovecharon de las matemáticas para expresarse, todos los del renacimiento que utilizaron la técnica de la perspectiva, y para mencionar alguno, pues invoco a Da Vinci. Por su puesto, los arquitectos deben saber de matemáticas si desean ejercer su oficio y brindar belleza a nuestros espacios cotidianos y vitales.

Así, que si a ti te gusta la belleza, te gustaran las matemáticas. ¡Dalo por seguro!

Pero a todo esto,  ¿Dónde más se usan las series de Fourier?

Cuando los números desnudos mienten: el cuarteto de Anscombe

LOS ANÁLISIS estadísticos son útiles porque resumen un montón de cifras en un par de números significativos; por ejemplo: el promedio y la desviación estándar. La información de temas diversos (e.g. opiniones o inclinaciones de voto, tendencias económicas y fenómenos naturales) puede ser condensada en unos cuantos números, y de esa manera tomar una mejor decisión sobre algún asunto delicado: un tratamiento médico, una política de estado, etc.

Sin embargo, un análisis numérico en solitario es insuficiente; es indispensable obtener una visualización correcta de la distribución de los datos, una gráfica. Una imagen donde se representen los datos puede brindar más información en menos tiempo como asegura E. Tufte en sus famosos libros. Además permite intuitivamente descubrir estructuras en nuestra serie de datos. Efectivamente, una gráfica brinda el contexto necesario para tomar mejore decisiones y ser cuidadoso en evaluar nuestro modelos propuestos.

El cuarteto de Anscombe ejemplifica excelentemente este último caso. Pues muestra que cuatro conjuntos de datos con las mismas propiedades estadísticas pueden tener tendencias muy diferentes.

En una época cuando las computadoras personales empezaban a permear en la sociedad americana, cuando las programas de hojas de cálculo eran poco (muy poco) conocidos. Francis J. Anscombe publicó el artículo: Graphs in Statistical Analysis (1973). Ahí defendía la idea de usar métodos gráficos para complementar los análisis estadísticos.

Él presenta la siguiente tabla de números que contiene cuatro conjuntos de datos (de ahí el nombre de cuarteto), esencialmente, cada conjunto exhibe propiedades estadísticas idénticas: el promedio de los valores de X es 9.0, mientras que los valores de Y es de 7.5, sus variancias son casi idénticas, correlaciones y líneas ajustadas (al menos por dos lugares decimales).

Con todo, cuando graficamos los datos, sus tendencias son muy diferentes entre sí, como muestra la siguiente imagen.

Estas cuatro gráficas son muy diferentes, pero sus valores estadísticos coinciden. Da clic en la imagen para hacer más grande

Los datos del conjunto 1 presentan una dispersión general, pero se pueden ajustar a la recta. En contraste, los datos del conjunto 2 muestran una tendencia no lineal. Mientras que los datos del conjunto 3 forman una línea hay un dato disparado (outlier data). Finalmente, los datos del conjunto 4 tienen una tendencia de línea vertical pero un dato disparado hace que la línea de tendencia sea muy diferente de la vertical.

De cierto es que graficar los datos revela su estructura, muestra cuando el análisis presenta casos patológicos como el conjunto 4. Por ello, los análisis requieren tanto cálculos como gráficas. Y ambas salidas deben ser estudiadas, pues ambas contribuyen al entendimiento del fenómeno estudiado.

¿Qué es un dato disparado?

Es uno o varios datos que se separan mucho de promedio o la tendencia que muestra el conjunto de datos. Retirarlos implica dejar más en claro la tendencia; disminuye la desviación estándar. Pero, ¿Cuántos datos se deben retirar?, ¿Qué tan lejos debe estar un dato para considerarlo disparado? La respuesta para ambas preguntas carece de consenso. Así, para los conjuntos de datos 3 y 4 es claro que un solo punto esta disparado (para ambos casos); a simple vista conjunto 2 carece de datos disparados; pero del conjunto 1 son varios los puntos que pueden estar disparados.

Criterio de la distribución gaussiana.

¿Cómo están distribuidos los datos
en una campana de Gauss? La imagen
muestra esa concentración de información

En general, podemos pensar que los puntos se distribuyen simétricamente alrededor del promedio. Como una distribución gaussiana, la cual se puede definir a partir del promedio y de la desviación estándar de los datos. Pues bien, un círculo imaginario con un radio igual la desviación estándar contiene más de 68 % de los datos de la distribución (como ilustra la imagen), en este intervalo se concentra la mayoría de la información. Por tanto, lo que está fuera de este intervalo se puede descartar como un dato disparado. Ese es un criterio para limpiar nuestros datos.

Sin embargo, al reportar nuestros descubrimientos debemos mencionar la presencia de los datos disparados, La gráfica debe presentar los datos completos. Esta práctica no era la norma en 1970s y muchos no la siguen hoy en día. Posiblemente, esta falta de gráficas y datos disparados son los que han llevado a muchos profesionales a de la estadística a graves errores en sus predicciones, habrá que ver.

Ya en anteriores entradas había advertido del uso del factor de correlación como único criterio para ajustar una curva. Ahora, el cuarteto muestra un ejemplo concreto que los números por si solos son insuficientes, se require de elementos visuales para completar la información.

¿existirán más conjuntos de datos que compartan estadísticas similares y gráficas dispares?, ¿Cuál será la manera lógica de construirlas? Eso… será tema de otra historia para este blog.

Referencias.

Anscombe, F. (1973). Graphs in Statistical Analysis The American Statistician, 27 (1) DOI: 10.2307/2682899

Obtener el número Pi sin usar círculos: video y su guión

Guión del video.

Hola internet

¿Se puede obtener el número PI mediante experimentos físicos donde no hay círculos?

Aquí te presento algunos ejemplos.

La relación entre el diámetro de una circunferencia y su longitud es PI, que es un número con infinitos dígitos y que no se puede describir como la división de dos números enteros: por lo cual lo llamamos número irracional.

Podemos pensar en una circunferencia, una rueda de diámetro uno, cubierta una sola vez por un listón. Al hacer girar la rueda por una horizontal, se libera el listón cubriendo una distancia de PI veces el diámetro. Pero eso es solo una definición donde se emplea el círculo tangible.

Por otro lado, el movimiento de un péndulo simple solo forma una parte de una circunferencia imaginaria. Su periodo está relacionado a PI, si se conoce la constante de gravedad y la longitud del hilo se puede obtener este número fácilmente a partir de oscilaciones pequeñas. De hecho, todos los fenómenos periódicos se relacionan con el número PI. Por el solo hecho de repetirse en el tiempo completan un ciclo: una especie de circunferencia imaginaria.

Con todo, también en fenómenos aleatorios podemos obtener el, número PI, como en la aguja de Buffon.

¡No ese bufón!

La aguja de Buffon es un juego, donde se lanzan agujas, clavos o palillos sobre una mesa con varias líneas paralelas dibujadas. Cuando la distancia entre líneas es el doble que la longitud de los palillos. Entonces el número total de palillos entre el número de palillos que tocaron una línea es igual al número PI. Aquí no se dibujo ni un pedazo de circunferencia.

Más aún, tenemos un caso singular de choques elásticos. El experimento consiste de una masa grande que choca con una masa pequeña en reposo. En una superficie sin fricción. La masa pequeña choca después con una pared elástica, en su regreso la masa pequeña choca con la masa grande que sigue desplazándose. Los choques se repiten una y otra vez a mayor velocidad. Finalmente la masa grande se queda sin velocidad y luego la masa pequeña choca contra ella.

¿Cuántas colisiones sucedieron en total?

Hagamos una tabla. N es un contador, que si es cero implica que la masa grande será 16 veces la pequeña, por lo cual tendremos tres colisiones.

Para N igual a 1, la masa grande será 1,600 veces la pequeña, de modo que tendremos 31 colisiones.

Para N igual a 2, la masa grande será 160,000 veces la pequeña, de modo que tendremos 314 colisiones.

¡Ya vemos una tendencia¡

De hecho, Si la masa grande es 16 por cien a la N, en el número de colisiones tendremos 3 y N dígitos del número Pi. ¿Dónde está el círculo?

De modo que podemos obtener el número PI sin necesidad de círculos físicos. Solo pedazos de circunferencias escondidas e imaginarias.

video: 10 dimensiones visualizadas con un lápiz y una proyección en papel

Interesante video de geometría proyectada. Efectivamente, es imposible que podamos ver a simple vista más de tres dimensiones espaciales. Pero si podemos proyectar la información podemos darnos una idea del objeto. Es decir, observando las “sombras” de objetos podemos imaginarnos como serian estos.

Este ejercicio matemático no tiene nada de supernatural, simplemente es una forma diferente de plantear un problema y mostrar una solución.

Demostrando el teorema de Pitágoras con tanques de agua

Gracias a @SegunGus -en Twitter- encontramos esta animación matemática .gif

Estas demostraciones físicas de teoremas matemáticos son importantes pues dan un sentido más palpable a lo que escriben en sus cuadernos o se ve en el libro de texto. Por lo cual lo aprendido puede ser más significativo. ¿Cierto?

Pues dinos, ¿qué demostración te gusta más? la de estos tanques de agua o las que son más geométricas que se presentan en la Wikipedia.

¿Conoces otras demostraciones similares a la de esta animación?

Método cantadito vs. métodos gráficos y cinéticos para multiplicar ¿Cómo aprendiste tú?

¿La mezcla de técnicas de aprendizaje hace más significativos los temas? Lo cierto es que todos aprendemos de modo distinto. Por ejemplo, algunos son alumnos visuales, otros necesitan usar las manos, otros incluso deben platicar las etapas que están siguiendo. Cuando se explotan adecuadamente cada una de estas habilidades el aprendizaje se enriquece.

Estos tres videos contrastan diferentes formas de multiplicar, los dos primeros son para operaciones básicas o introductorias, el tercero para operaciones más avanzadas.

Método de regletas

Cómo funciona este método

Cada conjunto de regletas tienen colores que las caracterizan: así las regletas que valen nueve unidades son de color azul, las que valen 5 unidades son amarillas, por ejemplo (entre modelo y modelo puede cambiar el color). Además las longitudes de las regletas son proporcionales a un patrón decimal. Es decir, dos regletas de cinco unidades tienen la misma longitud que la regleta de diez unidades.

De modo que gráficamente se pueden demostrar propiedades como son la conmutación, además de que se apoya en el concepto geométrico de área –qué se aplica mucho en la multiplicación–.

LO BUENO DEL MÉTODO: utiliza tanto colores, como tamaños para mostrar desde un punto de vista lógico y constructivo el concepto de multiplicación. Creo que es muy adecuado para hacer demostraciones e introducir conceptos en los primeros años de escuela, posteriormente se vuelve una curiosidad y referencia.

LO MALO DEL MÉTODO: parece ineficaz para cuando se hacen cuentas largas, o se requiere rapidez de cálculo. Pues la construcción de ciertas multiplicaciones puede tardar mucho. En este sentido, necesito la confirmación de personas que en su infancia aprendieron a multiplicar con este método. ¿Lo usan mentalmente en su vida adulta?

Método tradicional de repetición

En contraste al anterior método, encontramos las tablas de multiplicar cantadas.

Cómo funciona este método

En aprender de memoria la tonada, o la secuencia de los números. Pueden existir varias versiones de la misma canción, la idea es la misma: repetir de memoria la información.

LO BUENO DEL MÉTODO: Permite tener a la mano la información que te solicitan (especialmente los profesores en la clase). Puede ser un método cómodo de aprendizaje para los que tienen una inclinación para la música.

LO MALO DEL MÉTODO: El estudiante carecerá del sentido de las operaciones si sólo repite la tonada. Por ello, es importante utilizar otra técnica complementaria para desarrollar una conciencia más matemática, más real y útil en la vida diaria.

Método de cruce de líneas

Cómo funciona este método

Manteniendo el orden de la posición relativa se trazan líneas inclinadas para uno de los números; para el siguiente número se trazan líneas con la misma regla, pero que crucen a las anteriores. Se hacen pequeños conjuntos entre los puntos de cruce entre líneas. En extremos de la figura trazada se encuentran las veces que se cruzaron los números extremos. Lo que equivale a la multiplicación por separado de los números extremos que forman a toda la operación. Sin embargo en la parte media tendremos partes que se pueden sumar, aquí es donde hacer ejemplos es una buena idea.

LO BUENO DEL MÉTODO: Puede ser un método rápido, si se tiene experiencia trabajándolo, muestra claramente el concepto de generalización de la suma como una multiplicación. Por ello, es innecesario saber multiplicar de memoria cualquier cifra, pues todas son sumas. Además de otras bondades sobre el tramado de figuras.

LO MALO DEL MÉTODO: Al principio puede ser muy inpráctico y extraño para realizar comprobaciones.

Para nada quiero decir que un método sea mejor que otro. Uno usa el que más le conviene para su vida, hijos e estudiantes. Yo aprendí usando el método tradicional, por lo cual uso el método mecánico de números arábigos. Pero el método de regletas me gusta para que los niños aprendan a multiplicar, y método de tramas creo que es divertido y se debe explorar más en las escuelas preuniversitarias (secundaria y bachiller en México). Por lo demás, la gente usa la calculadora sin saber que está haciendo. 

Falta revisar como se aplicarían en una clase –con muchos estudiantes– estas técnicas de aprendizaje,... pero, esa es otra historia. 

Déjanos un comentario y  dinos, ¿Cómo aprendiste a multiplicar?

Obteniendo la ley de Snell desde el punto de vista del cálculo diferencial

Este video, en ingles, es realizado por patrickJMT quien es uno de mis profesores “youtuberos” favoritos. En esta ocasión obtiene la ley de Snell utilizado la derivada del tiempo en función de una variable de distancia, pues supone la velocidad de los medios como una constante, veámoslo:

Sólo quiero apuntar que Patrick iguala su derivada a cero para encontrar el caso donde es máxima o mínima la derivada. Afortunadamente, él encuentra un sólo punto extremo, pero no sabe (en principio) si es un máximo o un mínimo, requiere derivar una vez más para comprobar que su solución corresponde al mínimo de tiempo que toma un rayo de luz en atravesar la interface de dos medios.

Desde este punto, puedes intentar este ejercicio por tu cuenta, puedes autoexplicartelo mientras lo haces; es una buena forma de no olvidar el procedimiento para encontrar la solución

Ahora quiero hacer algunos apuntes sobre el uso adecuado de este video en una clase.

1) Por estar en ingles, el video es adecuado para practicar una nueva lengua, pues a lo largo del video hay varios conceptos que entienden los iniciados en el cálculo diferencial. Con todo, muchos deben esperar ansiosos la versión en español o con subtítulos, ya veremos quién se anima a trabajar sus propios videos o hacer la talacha de introducir los subtítulos.

2) Si eres profesor, Patrick te muestra lo sencillo que es llevar tus notas o material adicional a Internet. Pues sus videos tienen poco trabajo de post-producción, tienen un bueno guión de trabajo (donde se basa para no perder el tiempo en pausas innecesarias) y debe encontrarse en un lugar libre de ruido donde un micrófono se libra de sonidos espurios. No es tan complicado tener estos aditamentos y hacer videos similares, ¿o si es complicado?

3) El video muestra un ejercicio de cálculo 1 de nivel licenciatura. Para los que ya pasamos por ese cáliz, el video es un buen recordatorio de las etapas por hacer.

4) No se trata de que en la etapa de estudiante estemos buscando furibundos en Internet la respuesta a los ejercicios que deberían despertar nuestra creatividad. Estos videos son un material adicional que debe pulir, complementar y brindar otras alternativas a nuestra forma de dar respuestas a los problemas. Igual que las respuestas al final del libro, estas ayudan a los buenos estudiantes a confirmar o corregir sus ejercicios; para nada se trata de regalar una respuesta.

Finalmente, unas notas más superfluas, hoy es el día de los zurdos y evidentemente Patrick es un zurdo de buena letra, lo cual se agradece a cualquier profesor que trabaja sobre el pizarrón o con hojas sueltas frente a una cámara de video.

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¿Una aproximación geométrica de pi por Platón? (imagen y comentarios)

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SI DIBUJAMOS un circulo donde esté inscrito un octágono y circunscrito un hexágono, entonces el área de hexágono es dos veces la raíz de tres, mientras que la del octágono es de dos veces la raíz de dos. De tal modo que el promedio es aprox. el número pi. 

El rumor dice que el filosofo Platón propuso esta aproximación de pi. Sin embargo, falta evidencia directa de que Platón conociera esta aproximación; de hecho, parece ser una especulación del filósofo científico Karl Popper.

En el libro la “Sociedad abierta y sus enemigos” Cap. 6 (Vol 1, pp. 252–253) se encuentra una descripción que inspira la imagen que realice y encabeza este post:

“A kind of explanation of this curious fact is that it follows from the fact that the arithmetical mean of the areas of the circumscribed hexagon and the inscribed octagon is a good approximation of the area of the circle. Now it appears, on the one hand, that Bryson operated with the means of circumscribed and inscribed polygons,… and we know, on the other hand (from the Greater Hippias), that Plato was interested in the adding of irrationals, so that he must have added . There are thus two ways by which Plato may have found out the approximate equation, and the second of these ways seems almost inescapable. It seems a plausible hypothesis that Plato knew of this equation, but was unable to prove whether or not it was a strict equality or only an approximation.”

Paginas adelante, Popper termina con una disculpa de que no exista evidencia directa de que Plantón fuera el autor de tal aproximación:

“I must again emphasize that no direct evidence is known to me to show that this was in Plato’s mind; but if we consider the indirect evidence here marshalled, then the hypothesis does perhaps not seem too far-fetched.”

Déjanos un comentario sobre la utilidad de esta aproximación, por ejemplo para estudiantes de matemáticas. ¿Crees que la imagen este bien presentada?

Cosa de economía: ¿Qué prefieres un regalo o un descuento?

Imagina que tu producto favorito (un café, por ejemplo) está de promoción y te dejan elegir entre una (sólo una) de estas dos opciones:

1) Un paquete con un 33% más de café gratis.

2) Un descuento del 33% respecto al precio habitual

¿Cuál prefieres? Contéstalo a la velocidad a la que estiras la mano en el supermercado, ¿qué prefieres?... Después, tomate un tiempo y dinos si cambio tu opinión.

Pues bien, de acuerdo con un artículo del The Economist, los vendedores se aprovechan de la ignorancia matemática de la gente para empujarlos a realizar una compra. Pues un estudio parece mostrar que la gente prefiere algo extra de producto que un descuento en sus compras.

De hecho la gente suele tener problemas para saber cuánto es el pago final después de pasar por un descuento del 20%. Más aún aprovechando que la gente es ciega a los números, los vendedores, a veces,  aplican dobles descuentos. Así por ejemplo, un producto puede tener un descuento inicial del 70%, y le añaden un descuento extra del 30%. Esto no significa que el producto sea gratis, en realidad quiere decir que tú debes pagar 0.21 pesos por un producto que vale 100 pesos, por ejemplo. ¿Qué pasaría si a un descuento de 30% se la añade un 70%? ¿es mejor o igual que el anterior?

Parece que nuestra voluntad está más dispuesta a ceder cuando nos ofrecen un extra tangible, que un descuento. Pero, piénsalo un poco más, si el descuento fuera del 100% significaría que por poner tu cara bonita te regalarían un producto. En caso de aceptar el regalo, pues pagas uno y te llevas dos. La primera oferta es mejor

Así que la próxima vez que vallas de compras, lleva tu calculadora.

Finalmente, estoy seguro que si nuestros estudiantes hacen diferentes ejercicios matemáticos/prácticos  basados en el uso de dobles o triples descuentos y donde se presenten las opciones de regalo vs. descuento pueden hacer que nuestros estudiantes mejoren su economía personal y tal ves obtengan mejores calificaciones en pruebas tipo PISA, pero eso... eso es otra historia.

Se toman tan en serio las matemáticas, que han puesto un pizarron en el baño

Vía: Quantum Tunnel

El instituto de ciencias matamáticas de Cambridge: Isacc Newton, se distingue por muchas cosas, entre ellas el número de pizarrones dispersados en el edificio... incluso en los baños...¡Grandioso!...¡Creo!

 Lo cierto, es que es una forma fácil y eficiente de obtener atención de la gente del área ;)

Historias científicas: Fabricación de la cerveza (y no del vino) detonando descubrimientos matemáticos clave

!Salud a todos los estadísticos!

Alrededor de 1908, la cervecería Guinnes en Dublin, Irlanda, prohibía a sus trabajadores publicar artículos científicos. Ciertamente la cervecería temía revelar sus delicados secretos industriales. Sin embargo, Willian Gosset publicó una investigación sobre estadística/probabilidad en la revista Biometrika con el seudónimo de Student (estudiante). Al principio, su trabajo fue poco apreciado pero con el tiempo fue adquiriendo gran importancia práctica, especialemente donde se requieren realizar afirmaciones generales de una población donde se sustrajo una pequeña muestra .

Gosset, quien trabaja en pruebas de control de calidad, introdujo las bases de lo que hoy conocemos como "distribución t de Student", la cual asegura una estimación de la exactitud de un promedio obtenido de una pequeña cantidad de datos, la que a su vez se supone normalmente distribuida.

Esta historia es bien conocida; de hecho, los libros de texto de estadística/probabilidad suelen registrarla. Sin embargo, lo que me pregunto es: ¿por qué esta investigación surgió de la industria de la cervecería y no de otra industria agropecuaria bien desarrolla, por ejemplo la del vino?

W. Gosset, via Wikipedia

Mi respuesta es simple, los fabricantes de la cerveza están orgullosos por la consistencia, mientras que los del vino se enorgullecen por la variedad. Por ello nunca escucharan a los fanáticos de la cerveza hablar de un “buen año de cosecha” del mismo modo que los conocedores del vino lo hacen. Por supuesto, en las cervecerías lo importante es la repetibilidad, por lo cual los cerveceros invierten más dinero en estudios de control de calidad que lo que hacen los viticultores.

De esta historia deseo destacar dos puntos: 1) El entorno permite que crezca la ciencia: en un ambiente donde se necesitan respuestas y se fomenta su búsqueda, es donde puede crecer una idea. 2) No se puede amordazar la comunicación de las ideas, siempre encentran una forma de superar la censura.

Este caso es de tomar en cuenta, independientemente de tu trabajo, tu puedes tener ideas que pueden ser muy útiles, tal vez no; pero tienes que expresarlas correctamente para saberlo, de otro modo siempre tendrás la duda.

¡¡Felices experimentos!!

Imagen: ¿Por qué el amor es como pi?

¿Por qué el amor es como pi?

Efectivamente, sin él mi mundo no tendria sentido ;)

Hice esta imagen por el diseño sencillo y fuerte, además de que el mensaje me parece original y tierno <3

Creo que me estoy adelantando demasiado al día del amor y la amistad.

Por favor si van a usar la imagen, denle crédito a este su blog.

¿Pueden los humanos generar secuencias aleatorias? (un experimento, un video)

Este video muestra bella y claramente cómo los humanos somos terribles para generar secuencias aleatorias. Muy diferente de lanzar muchas veces una moneda (que es el experimento de referencia en el video). Además, el video muy acertadamente, presenta el concepto de estabilidad de frecuencia.

Este video sobre temas matemáticos es muy interesante por involucrar un experimento. En otros trabajos (incluso en una encuesta de este blog) se ha mostrado que las personas pueden tener ideas equivocadas sobre cómo se comporta las secuencias aleatorias. Pues, experimentalmente, al lanzar unas cuantas veces una moneda se pueden producir muchas repeticiones (e.g se puede producir 11110111), pero la gente se desespera ante las repeticiones en unos cuantos lanzamientos, por lo que se inclinan con secuencias que les parecen “más lógicas” (e.g 10101010 ). Para unos cuantos lanzamientos, las repeticiones en secuencia son comunes.

Puedes hacer este experimento con tus alumnos o compañeros con 15 lanzamientos de la misma moneda. Seguro veras los patrones claramente, identificando quien lanza una moneda y quien adivina, algo parecido al video, pero con pocos puntos experimentales. Es muy divertido el experimento, lo puedo garantizar.

Sin embargo, para secuencias muy largas, como la que se muestra en el video, se pierde el patrón. Es donde se debe usar el concepto de la estabilidad de frecuencia. Aplicarlo en el salón de clases, bueno eso, eso es algo que debo estudiar. Tal vez tu, amable lector, tengas la respuesta!!

Generar números aleatorios es asunto serio. Pues con esta clase de números se realzan procesos de criptografía de datos, los cuales son la base del comercio seguro en la era de las transferencias bancarias electrónicas, es decir, hoy en día. ;)

Esta historia es digna de ser meneada, ¿quién sera el valiente en postearla?

Método totalmente gráfico para localizar las raíces complejas en una parábola.

Esta es una bonita forma de visualizar las raíces complejas de una cuadrática. A manera de ejemplo, he tomado la ecuación:

x^2 -4x+5

Ahora, refiriéndome a la Figura 1 del post, lo que se haces es:

1) Reflejar la gráfica de la cuadrática original (curva azul en la Fig.) desde el vértice, en la Fig. la nueva curva es roja.

2) Encontrar donde la nueva gráfica intercepta al eje X, que en la Fig. se marcó con puntos rojos.

3) Finalmente, estos puntos rojos (puntos de intercepción) corresponden también a los extremos opuestos en un círculo, por lo cual los hacemos rotar 90 grados (no salimos del circulo). Estos nuevos puntos (marcados en la Fig. con estrellas azules) deben ser interpretados en el plano complejo (ya no más en el plano cartesiano de los números reales) para que correspondan a las raíces de la ecuación original. en este caso, las raíces complejas son: 2+i y 2-i.

Efectivamente, todas las parábolas que carecen de raíces reales, cuentan con raíces complejas las que muestran una simetría alrededor de la componente real de la raíz (en este caso el 2). Estas dos raíces son números conjugados complejos.

Por supuesto, muestro este método como una alternativa complementaria para discutir, ahondar o curiosear gráficamente en torno al tema de las raíces complejas. Es muy probable que no sea el método más rápido para calcular las raíces, pero seguro si es el método más visual que requiere menos algebra en el pizarrón. :)

Finalmente, a continuación les dejo el código Matlab que utilicé para generar las gráficas y puntos. Es un primer intento, pues se puede mejorar mucho para convertir el código en una función completa y flexible.

%% inicio del guion Matlab
clc
clear
close all
% valores por defecto
a =1;
b= -4;
c=5;
x =.5:0.01:3.5; % intervalo para vizualizar
y = a*x.^2 + b*x + c; % parabola original
minimo = min(y); % vertice de la parabola
y_espejo = -y + 2*min(y); %reflejo de la parabola original
Posicion_de_ceros =find(y_espejo == 0); % identifica a las etiquetas
raices_reales_espejo=x(Posicion_de_ceros); %encuentra las raices de la parabola espejo
radio_circulo = abs((x(Posicion_de_ceros(2))- x(Posicion_de_ceros(1)))/2);
centro_circulo = x(Posicion_de_ceros(1))+radio_circulo;
raiz_uno = radio_circulo;
raiz_dos = -radio_circulo;
% dibujando el circulo
o=-pi:0.001:pi;
r = radio_circulo;
k = 0; % por la definicion de la raiz
h = centro_circulo;
xx=r*cos(o)+h;
yy=r*sin(o)+k;
hold on
plot(x, y, 'b', 'LineWidth',5)
plot(x, y_espejo, 'r', 'LineWidth',3)
plot(xx,yy,'--g', 'LineWidth',1.5)
plot(raices_reales_espejo, [0,0], 'o','MarkerEdgeColor','r',...
'MarkerFaceColor','r','MarkerSize',10)
plot([centro_circulo centro_circulo], [raiz_uno raiz_dos], 'p', 'MarkerEdgeColor','b',...
'MarkerFaceColor','b','MarkerSize',15)
axis equal
grid on
hold off
%% fin del guion

Inspirado de:

Su, Francis E., et al. “Complex Roots Made Visible.” Math Fun Facts. 

Demostración sin palabras: sin(α+β), (Imagen)

Las áreas blancas de estas dos figuras, son iguales :)

El área del paralelogramo de la izquierda (en blanco) es igual a sin(α+β), y es igual también a la suma de las áreas del rectángulo blanco de la derecha, que es sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β).

Con esta van dos demostraciones gráficas de trigonometria que les presentamos. La primer demostración implica un mayor concentración para identificar elementos.

¿ Cuál demostracioón te gusta más?

Enlaces relacionados:

Cómo probar el teorema de Pitágoras en 1 minuto: video

¿Qué tipo gráfica debería escoger?